Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
Роль боковых пространственных компонент. Ограничимся одномерным движением частицы и случаем, когда вступает в действие только одна боковая компонента смещения и времени. Тогда
Магистральная и боковая компоненты времени и пространственной переменной равны
Соотношения (20), хотя и являются простым вариантом общего случая (13), тем не менее содержат достаточно много различных возможностей. Для их классификации необходимы дополнительные принципы. Эти принципы могут диктоваться нашими представлениями о том, какие именно процессы реально возможны, а какие возможны только теоретически. Предположим, что прямым наблюдениям доступны только магистральные компоненты времени и смещения. Боковые компоненты непосредственным наблюдениям недоступны, но могут быть обнаружены по косвенным признакам.
Если уравнения движения и начально-краевые условия таковы, что можно определить первую функцию в (20), то необходимости в определении второй функции не возникает. Какой смысл заниматься ненаблюдаемыми переменными, если без них можно обойтись? Но вполне возможна и другая ситуация, когда боковые компоненты
Z = F (0^ Z = Xij i + X2j 2, 0 = T1j 1 + T2j 2
или
Xl = Fi(Ti,T2), X2 = F2(Ti,T2).
(19)
T = Tl + T2 , &= Tl - T2 ,
2 ’ 2
-----, ж = —-—
2 2
Поэтому вместо (19) можно записать X = F(T, &), ж = Y(T, &).
(20)
<s и 3 должны фигурировать в самих законах движения. Тогда мы не можем получить первое равенство (20), не анализируя второго. Это можно показать на следующем примере.
Предположим, что из каких-то соображений нам удалось установить, что особый интерес представляют движения, которые описываются функциями, являющимися аналитическими. Тогда в соответствии с (5) § 50 имеем
X1 = ад), X2 = F2(T2).
Следовательно,
X = F1(T + 3) + F2(T -3)
2 ,
_ F1(T + 3) - F2(T - 3)
Ж----------------------.
2
Отсюда
dX = d» dX = d» dT d3 ’ d3 dT'
Таким образом, следствием аналитичности является тесная связь между скоростями изменения магистральной и боковой компонент смещения. Подобные и другие более общие связи могут следовать также из других принципов, которые управляют поведением частиц на микромасштабных уровнях. В подобных случаях также необходимо учитывать боковые пространственные перемещения.
Глава 12 Некоторые приложения
Областью приложений неархимедова анализа является круг задач, для решения которых разрешающей способности классического анализа недостаточно. Прежде всего, это задачи измерения углов касания, оптимального управления, теории пластичности, механики горных пород и др. Неархимедово пространство обладает иерархией масштабных уровней. Поэтому здесь сам математический аппарат приспособлен для описания процессов, которые реализуются на ряде масштабных уровней. В механике наиболее известными процессами такого рода являются турбулентные течения вязкой жидкости и процессы деформирования массива горных пород.
Вообще появление нового инструмента исследований всегда открывает и новые области приложений. Возможные приложения неархимедова анализа к теории пластичности и механике геоматериалов рассматривались в работах [20-30]. Далее ограничимся кратким описанием модели горной породы с двумя структурными уровнями.
§ 52. Математическая модель горной породы с двумя структурными уровнями
Пусть деформирование осуществляется в плоскости ОХ 1X 2, где ОХ 1, ОХ2 — неархимедовы прямые. Предположим, что среда занимает определенную область на вещественном и последующих микроуровнях данной плоскости, т.е.
X1 = X1 + x 1 + ..., X2 = X2 + x2 + .... (1)
Здесь индекс указывает на номер пространственной координаты. Иными словами, в (1) и ниже х 1, х 2 — это числа вещественного уровня, а X1, X2 — числа первого микроуровня, т.е. оба числа X1/E, X2/E принадлежат к вещественному масштабному уровню. Предположим, что при описании процесса деформирования масштабные уровни с номерами 2, 3... можно не учитывать. Поэтому
невыписанные аргументы включим в аргументы x1 и x2 и будем считать, что переход на микроуровни 2, 3... можно осуществлять по непрерывности с микроуровня 1.
Пусть и — вектор перемещений. В одномасштабной архимедовой плоскости вектор и мог зависеть только от двух вещественных переменных. Производные от компонент вектора определяли тензор деформаций и поворот. Теперь вектор перемещений зависит от четырех пространственных координат (и это по-прежнему в плоском случае):
й = й(х 1, x 2, xi, x 2). (2)
Производные по переменным x 1, x 2 определяют компоненты микродеформаций, а производные по х 1, х 2 — компоненты макродеформаций. Из множества возможных вариантов остановимся на самом простом, когда переход с микроуровня на вещественный уровень можно описать с помощью производных от функций. Согласно (2), деформации среды на вещественном уровне и последующих микроуровнях описываются тензорами с компонентами /
