Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
Здесь каждая из функций
Y1 = W1(X1,X2...X n ),
y2 = W2(X1,X2...X N),... (1)
Yn = Wn (X1,X2...X n )
представляет собой существенную функцию N существенных переменных. Поэтому все понятия, которые были рассмотрены выше для функций одной переменной (понятия непрерывности, производных и интегралов), можно перенести также на многомерный случай (1). По обычной схеме для функции W можно ввести понятие производной по аргументу Z. Предположим, что функции (1) обладают всеми свойствами гладкости, которые потребуются ниже. Пусть AZ, AW — приращения аргумента и функции. Тогда
AW = AW1 j 1 + ... + AWnj
N
AZ AX1j 1 + ... + AX NjN
С точностью до (AX k) можно записать
AW
AZ
dW1 dW1 AX2 AW1 AX n
1 +------1-----2 +... + 1 N
dX1 dX2 AX1 dXN AX1
jN ¦
+
dWN AX1 + + dWN
j 1 + ...
Предел данного отношения не зависит от закона стремления DZ к 0, если
= 0, к ф m, k, m = 1,..., N. (3)
Отсюда следует, что
W(Z) = Wi(Xi)j 1 + W2(X2)j2 +... + WN (XN)jN (4)
и
dW
= W/(Xi)j 1 + W2(X2)- 2+... + WN (X N )j n .
dZ
Здесь через dW / dZ обозначен предел (2) при DZ ^ 0, через Wk (Xk) — производные Wk по Xk. Условия (3) аналогичны условиям Коши — Римана для функций комплексного переменного. Таким образом, для того, чтобы функция W(Z) была дифференцируемой по Z, необходимо и достаточно выполнение условий (3) и существование производных Wk (X k) по X k. (Доказательство достаточности очевидно.)
Пусть функция W раскладывается в сходящийся ряд с коэффициентами из числовой области (3) § 48:
W(Z) = X (Av 1j 1 + ... + AvNj N )ZV. (5)
V
Так как
Z = (X^,71 + ... + X Nj N )V = XVj 1 + ... + X Nj N ,
то
W(Z) = X Av1XVj 1 + ... +X AvN X NjN . (6)
V V
Из сопоставления (6) с (4) заключаем, что
Wl(X1) = XAv1XV,..., Wn(Xn) =XAvnx
V
N.
В частном случае, когда коэффициенты в разложении (5) являются существенными числами, т.е.
W(Z) = X AvZv, (7)
V
имеем
W(Z) = W(Xi)j 1 +... + W(X N )j n .
В теории функций комплексного переменного большую роль играет тригонометрическая форма представления комплексного
V
V
числа. Дадим аналогичное представление для чисел (3) § 48. Положим W(Z) = ez. Тогда для Z = а-j - +... + aN jN
e a-j-+...aNjN = e a- j - +... + e aN jN. (8)
Коэффициенты в правой части всегда положительны. Следовательно, наперед заданное число Akjk можно представить в форме (8), если все значения Ak > 0. Тогда
A-j - +... + ANjN = elnA-j-+“ +lnANjN. (9)
Для представления чисел с отрицательными компонентами необходимо введение мнимой единицы i. Например, пусть A - < 0, A2 > 0... An > 0. Тогда
A-j- +... + ANjN = e(ln(-A-)+pi)j-+lnA22 + - +lnANjN. (-0)
Любое гиперкомплексное число содержит в себе обычную существенную составляющую. Однако в «извлечении» этой составляющей из числа есть некоторый произвол. Пусть
Z = A-j - + ... + ANjN . (Ш
Представим каждый из коэффициентов в виде
A - = A - + С,... An = AN + C.
Тогда вместо (--) получим
Z = С + A-j - + ... + AJVj N. (-2)
Здесь С — аддитивная существенная составляющая числа (-2). Данная составляющая аналогична вещественной составляющей комплексного числа a + ib. Отличие состоит только в том, что составляющая а в записи (a + ib) определена однозначно, в то время как в (-2) для выбора величины С необходимо дополнительное условие.
По-видимому, наиболее естественным является следующее условие:
A - + A 2+... + A'n = 0.
Тогда
С=
А - + А 2 +... + An
N 276
и любое гиперкомплексное число z можно представить в виде суммы
. . . А1 +... + An
А 1j 1 + ... + AnJn =------------- +
N
А1 +... + An
1
An -
А1 +... + An
N
N jN.
J1 +...
(13)
Первое слагаемое будем называть существенной частью гиперком-плексного числа.
Пусть Ak > 0. Выделим действительную часть из показателя экспоненты (9). Она равна C = ln^A 1,А2... An . Следовательно,
