Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
8X
8t
Оба вида смещений u(x, X) и u(t, t) могут быть разрывными. В обоих случаях энергетическая характеристика разрыва обозначена одной и той же буквой W.
Таким образом, то, что было раньше профилем края пластин при и‘ их сдвигах и относительных скольжениях (см. рис. 10.2), теперь может рассматриваться как график перемещения точки во времени (рис. 10.4).
Далее, процесс деформирования твердых тел принято описывать в терминах «напряжения, сдвиги, энергия деформирования» и др. Динамика частицы описывается с помощью таких понятий, как скорость, импульс, кинетическая энергия и др. Аналогия позволяет перенести понятия из одной области в другую. При использо- q вании такого переноса будем использовать кавычки. Рис. 10.4.
и( Т)
Посмотрим, что дает указанная аналогия в двух простейших случаях: в случае свободного движения частицы и в случае ускоренного движения частицы под действием постоянной силы. Положим
W(R) = GR2, WR(R) = G • R,
где G > 0 — заданная постоянная.
1. Аналогия между движением частицы по инерции и однородным сдвигом сплошной среды
Рассмотрим сдвиг (или одноосное растяжение стержня) в условиях, когда F = 0. Из уравнения (5) § 45 имеем
д 2и (х,Х) = 0; ди (х,X) = a(x). и(x, X) = a(x)X + b (x).
dX
Уравнения (6) § 45 дают a (x) = a (x + l). Отсюда a (x) = a = const. Тогда уравнение (7) § 45 приобретает вид
b (x + l) - b (x)
a.
Его решение суть
b(x) =
1 + m
G
ax + c, c = const.
Таким образом,
и (x, X) = a (x + X) + a—x + c.
G
Если u(0, -p) = 0, то c = a • p. Окончательно
и (x, X) = a(x + X) + m ax + a • p.
G
Сдвиг на микроуровне равен
ди (x, X)
дХ
= a = const.
Макросдвиг тела, если его определить как G и (x + l, 0) - и (x, 0)
постоянен по x и равен
l
Г =
1 + m
G
a.
Различие в указанных сдвигах Г - g определяет величину проскальзывания
R = a m.
G
Постоянная а может быть определена из второго краевого условия. Пусть, например, на границе x = f задано касательное напряжение ар. Тогда
du(xe, q) а ; а ар
.----—--- = ар; а = ---•
dx m
Таким образом, в условиях, когда боковая поверхность от напряжений свободна, все пластины деформируются одинаково и проскальзывания между ними также одинаковы (т.е. осуществляется однородный сдвиг типа [46]).
Представляют интерес энергетические характеристики данного процесса. В рассматриваемом примере работу совершает только магистральное напряжение s (b) = s(xe, q) на перемещении и (Р) = и (xe, q):
A а = 2 а (xe, q) u(xe, q) = ^
xe + p + q + . xe G
(1)
У
Подсчитаем потенциальную энергию тела. Она складывается из двух частей: потенциальной энергии самих пластин Ли и энергии, запасенной (или диссипированной) на контактах между пластинами ЛR. Легко видеть, что
b2 Л и = 2 fs (X) dX = m2_(xe + q + p),
a x
1 xe 2a 2
ЛR = — f s • RDx = m---xe .
R 2 2G e
x0
Следовательно,
A s = Л и + Л R
и каждое из слагаемых в равенстве (1) приобрело ясный смысл.
Рассмотрим теперь движение частицы в условиях, когда F = 0. Иными словами, рассмотрим движение частицы по инерции. Вследствие аналогии все выкладки будут такими же, как и в представленном выше примере. Поэтому выпишем сразу результаты.
Если F = 0 и
т \ n Su (°’ - t р )
u(0, - tp) = 0, --------= v0,
p St
то
m
u(t,t) = v0(t + t) + — v0 • t + v01
G
Видимая скорость на вещественном уровне постоянна:
v 0-
Скачки перемещения также постоянны и равны
