Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
В качестве базиса в данном пространстве возьмем следующие числа:
j - = limit Lim(1,0,0... 0;...),
v n
j 2 = limitLim(0,1,0,...0;...),..., (1)
v n
jN = limit Lim (0,0,0,...-;...).
v n
В приближениях числа j - на первом месте стоит единица, на следующих (N - -) местах стоят нули. Дальше все повторяется с периодом N. Число j2 устроено так же, только единица стоит на втором месте.
В j з единица стоит на третьем месте и так далее до j N. Неформально можно сказать, что все числа выбраны такими, чтобы они находились как можно ближе к нулю: из N чисел последовательности под знаком Lim только одно число, отличное от нуля. Данный базис приводит к следующей таблице умножения:
j2 = j 1,... jN = jN, jmjk = jkjm = 0, к Ф m, 1 < к, m < N. (2)
Все числа jk линейно независимы и неупорядочены относительно
чисел оси OX. Если речь идет о структуре момента времени, то числа неупорядочены относительно оси времени OT. Каждому из чисел jk отвечает свое измерение. Точки Z рассматриваемого пространства можно идентифицировать с помощью набора координат X1,...XN:
Z = X1j 1 + ... + X NjN , (3)
где значения X к — принадлежат неархимедовой прямой. Аналогично для временной оси имеем
Q = T1j 1 + ... TNj N , (4)
где Tk принадлежат оси неархимедова времени OT. Ниже достаточно ограничиться только пространством (3). Для (4) все результаты сохраняются без изменений. Из (1), (2) видно, что каждый базисный элемент является делителем нуля, а сумма всех базисных элементов составляет единицу:
j 1 + j 2 + ... + jN = 1.
Кроме единицы, пространство (3) содержит ряд двойных единиц, т.е. чисел j, отличных от +1 и -1 и таких, что j2 = 1:
j = ±j 1 ± j 2 ± ... ± jN.
На этом основании пространство (3), (4) можно называть гиперком-плексным. То обстоятельство, что компоненты являются числами существенными, будем подчеркивать названием «гиперкомплексное пространство над полем существенных чисел». Ниже будет рассмотрен случай, когда компоненты могут быть комплексными числами.
Выбранный выше базис приводит к предельно простым правилам сложения, умножения и деления. Если
Z' = X 1j 1 + ... + X NjN ,
Z + Z' = (X к + X к )jk, Z • Z' = X к X j,
Z Xк . 11.1. 1 . (5)
--- = --j к , — = --J 1 + -J 2 + — + --J N .
Zi V' 7 V V V N
^ Z X1 X2 X N
то
Везде по немому индексу идет суммирование; в последнем равенстве считаем, что все Xk ф 0. Легко заметить, что если хотя бы одна из компонент X k = 0, т.е. произведение
X1X2...X N = 0,
то число Z будет делителем нуля. Действительно, пусть X1 = 0. Положим
Z = X2j2 + ... + XNj N ф 0
Z = X 1 ф 0.
Отсюда Z • Z' = 0. Таким образом, согласно (5), все числа, кроме делителей нуля и числа 0, имеют обратные. Ясно, что алгебра (5) является коммутативной, ассоциативной и представляет собой прямую сумму нескольких алгебр существенных чисел.
Введем понятие модуля числа Z. Примем по определению, что модуль представляет собой неотрицательное существенное число | Z |, которое удовлетворяет следующим требованиям:
|aZ| = |a||Z|, |ZZ'| = |Z||Z'|,
где a — произвольное число на прямой OX. Указанным требованиям удовлетворяет следующая конструкция модуля:
|X1j 1 + ... + XnJn \ = |X11 1 • ... • |Xn| n , (6)
где 1m — произвольные числа. Естественно, что понятие модуля должно удовлетворять условию согласованности. Иначе говоря, если число Z сводится к числу X, лежащему на оси OX, то модуль (6) должен совпадать с обычным модулем |X |. Число Z совпадает с X, когда для любого k имеем X k = X. Отсюда
\Xj 1 +... + XJn \ = |X|11+12 + “ + Xn = |X|.
Следовательно, должно выполняться равенство
11 + 12 + ... + 1N = 1.
Наиболее симметричным является вариант, когда
11 = 12 =_______________________= 1N = 1/ N
и, значит,
|X1j 1 + ... + XNJn\ = N|X1...XN |.
Возможны, конечно, и другие определения модуля, которые в некотором смысле также можно отнести к естественным. Так, в [14,16]
было получено следующее сингулярное (при N > 3) выражение для модуля:
\X1j 1 + ... + X nJn \ = -\/\X1 \ \X2 \ — \X n\.
§ 49. Функции гиперкомплексной переменной
Пусть значению переменной Z из области (3) § 48 соответствует некоторое вполне определенное значение W из этой же числовой области:
W = W(Z).
Числовая область является N-мерной. Поэтому одна гиперком-плексная функция сводится к N функциям от N переменных:
W = W(XJ 1 +... + X nJn ) =
= W1(X1, X2,...,XN)j 1 +... + Wn(X1,...Xn)Jn¦
