Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ревуженко А.Ф. -> "Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды" -> 97

Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.

Ревуженко А.Ф. Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды — Н.: Наука, 2012. — 327 c.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка): matematanaliz2012.pdf
Предыдущая << 1 .. 91 92 93 94 95 96 < 97 > 98 99 100 101 102 103 .. 124 >> Следующая

Подведем итог. Из условия стационарности функционала
П =
й
x 0
1q
- | Y(u(x, X), Ux(x, X))dx
и (x + q, -p) - и (x - p, q) l
Dx +
Dx +
(6)
+ Ka u (x 0 - p) - Kb u (xe, q)
следуют уравнения
Yux (u(x, X), ux(x, X)) - ^ Yux (u(x, X), ux(x, X)) = 0,
и (x + l, -p) - и (x, q)
(7)
(8)
X
Yux (u(x + l, -p), ux) = Yux (u(x, q), ux) = Wr и краевые условия
Yux (u(x0, -p), ux) = Ka,
Yux (u(xe, q), ux) = Kp.
Стационарное значение функционала (6) с отброшенными внеинте-гральными слагаемыми достигается на решениях тех же уравнений, дополненных следующими краевыми условиями:
и(x0, -p) = U0, и(xe, q) = ue,
U0 ue — заданы.
Краевые условия
и(x0, -p) = U0, Yux (u(xe,q), ux) = Kp
или
Yux (u(x0, -p), Ux) = Ka, и(xe, q) = ue
отвечают функционалам, в которых отброшены либо первое, либо второе внеинтегральные слагаемые
Замечание. Неформально можно сказать, что уравнение (7) имеет место на интервалах -p < X < q при x = x0, x0 + l,...,xe; уравнения (8) имеют место только в точках горизонта, т.е. при
x = x 0, x 0 + l,... xe - l, X = q, - p.
Смысл результатов легче понять, рассматривая конкретные примеры. Ограничимся двумя примерами: расширениями на неархимедов случай принципа минимума потенциальной энергии и принципа Гамильтона — Остроградского.
a
§ 45. Принцип минимума потенциальной энергии
Данный принцип может быть отнесен к системе «деформируемое тело — внешние нагружающие устройства». Из всех допустимых полей перемещений в действительности реализуется то, которое доставляет минимум потенциальной энергии системы [120]. В § 44 мы ограничились одномерным функционалом. Поэтому в качестве примера необходимо рассмотреть также одномерный процесс деформирования. Рассмотрим плоскопараллельный сдвиг сплошной среды, которая занимает вещественный уровень пространства и все его микроуровни. (С первого микроуровня осуществлено непрерывное продолжение на все последующие микроуровни.) Пусть u(x,X) — горизонтальная компонента смещения, X = x + X — вертикальная координата. Запишем функционал, имеющий смысл потенциальной энергии системы. Деформируемую среду можно представить как набор отдельных пластин, которые, испытывая упругий сдвиг, могут скользить друг по другу (рис. 10.1, отдельная пластина). В пределе Lim толщина пластины равна актуальной бесконечно малой величине l. Изменению переменной X от -р до q при фиксированном x соответствует изменение координаты X в пределах одной пластины.
Рассмотрим вопрос об энергии, которая может быть запасена в отдельной пластине. Обозначим через s касательное напряжение (то есть силу, отнесенную к площади; считаем, что пластина имеет размеры 1 х 1 х l). Предположим, что величина сдвига ди/ dX связана с касательным напряжением линейной зависимостью
Тогда энергия, затраченная на сдвиг одной пластины, будет равна
ди
s = m—, m = const.
dX
(1)
- p v
U
Puc. 10.1.
o>0
Рассмотрим условия на контакте между двумя пластинами. Имея в виду описание упругопластических сред, предположим, что при s > s * между пластинами возможно проскальзывание. Пороговое значение напряжения s * из-
вестно (случай, когда s * = 0 не исключается). Величина проскальзывания, отнесенная к толщине пластины l, равна
u (x + l, -p) - u (x, q)
R(x + q) =
l
Предположим, что для реализации проскальзывания между одной парой пластин необходимо затратить энергию, равную
l • W
u (x + l, -p) - u (x, q)
l
Из выражения для вариации
WR (R)[5u (x + l, -p) - 5u (x, q)] следует, что касательное напряжение на контакте должно быть равно
^u (x + l, -p) - u (x, q)"
s (R) = Wr
l
В реальных твердых телах проскальзывание необратимо. Поэтому вариация 5R должна быть того же знака, что и само проскальзывание R. Для наших целей это можно не учитывать и принять, что проскальзывание является таким же обратимым, как и сдвиг самих пластин. Таким образом, общая потенциальная энергия, запасенная в пластинах и на контактах между ними, равна
Р
1 q m / Л 1 1 D, , xfwf u (x + l, -p) - u (x, q)"
du X
l q 2 dx , 1 W 1
- p J I l ;
x 0 V У
Dx .
Далее примем, что нижняя граница тела закреплена, т.е.
u(a) = u(x0, -p) = 0.
Предположим также, что некоторыми устройствами на верхней границе создается касательное напряжение s = sp. Данное напряжение вызывает смещение
Предыдущая << 1 .. 91 92 93 94 95 96 < 97 > 98 99 100 101 102 103 .. 124 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed