Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
lim и (t + Dt, 0) - и (t, 0) = и (t + тl,0) - и (t,0) (3)
DM-Tf Dt T l
Моменты времени, на которых определяется скорость (3) разделены между собой промежутком tl, т.е. (3) — это только видимая, а не «истинная» скорость. Посчитаем это достаточным основанием для того, чтобы скорость (3) в выражение для кинетической энергии не вклю-
чать. С другой стороны, скорость (2) определяется на базе AT, которая становится меньше любого актуально бесконечно малого числа. Примем, что именно данная скорость и определяет кинетическую энергию частицы:
2
Su (t, t)
St
где m — масса частицы.
Рассмотрим вопрос о потенциальной энергии. Ограничимся случаем, когда потенциальная энергия имеет аддитивную составляющую, зависящую только от положения частицы. Обозначим ее через -V(u (t, t)). Таким образом, в функционал должен войти интеграл
j V (T) d T = -j
1 q
- j V(u(t,t))dt
At.
Далее, главная проблема связана с разрывностью смещений на стыке разных масштабных уровней времени. Данные разрывы (с учетом нормировки) равны
u (t + 11, -t p ) - u (t,t q ) (4)
где t = t0, t0 + tl,... te - tl. Ясно, что для реализации подобных разрывов должны быть соответствующие причины силового и энергетического характера.
Рассмотрим самый простой вариант, когда существует некоторая функция (-W) аргумента (4), которая описывает указанный фактор. В функционале должна фигурировать история преодоления частицей всех скачков за время от Т0 до Те, т.е. в простейшем случае — величина
te
-jW
t0
u (t + t q, -t p ) - u (t - t p , t q )
l
At.
Таким образом, мы приходим к следующему функционалу:
u (t + t q, -1 p ) - u (t - t p , t q )
1 tq (m 0u^ I W
- j + t +t
2 1 At
"a
i J V2 St j - 1 to v
-tp
At. (5)
T
t
T
Запишем условия стационарности данного функционала:
JL т ^ - Vu (u) = 0,
dt dt
du (t, X q ) du (t + X l, -X p )
m--------— = m-----------------—, (6)
dX dX
du (t’X q) w m-------------— = WR
dx
u (t + x l, - x p ) - u (t, x q )
l
где f = t0, t0 + xl,... te - xl.
Первое уравнение — это уравнение динамики: скорость изменения импульса частицы пропорциональна действующей силе. Второе уравнение утверждает, что на стыке двух масштабных уровней импульс частицы всегда сохраняет свою непрерывность даже в тех случаях, когда само перемещение испытывает разрыв. Третье уравнение показывает что при переходе с одного масштабного уровня времени на другой величина импульса определяет также и величину скачка перемещения.
Построенный функционал удовлетворяет необходимым условиям согласованности. Действительно, если
du(t, x) _ du(t, x) dt dx
и, значит, u = u (t + x), то многомасштабность времени никак не проявляется. В этом случае разрывы отсутствуют и функционал переходит в классический. Первое уравнение (6) переходит в классическое уравнение динамики, второе уравнение удовлетворяется тождественно, необходимость в третьем уравнении — отпадает.
§ 47. Аналогия между неархимедовой динамикой материальной точки и упругопластическим сдвигом сплошной среды
Сравним два функционала — функционал полной потенциальной энергии (4) § 45 и функционал действия (5) § 46. Видно, что интегральные члены этих функционалов идентичны. Следовательно, между процессами, которые соответствуют данным функционалам, есть аналогия. Поэтому любые заключения относительно одного процесса, переносятся также и на второй процесс. Необходимо только изменить терминологию.
Опишем соответствие терминов. Прежде всего о независимой переменной. В первом случае — это пространственная переменная X, во втором — время T:
X = x + X; т = t + t.
При фиксированном значении x расстояния до точек горизонта на оси OX равны p и q, а на оси времени ОТ равны tp, tq. Параметры q, tq относятся к положительному направлению оси, параметры p, tp — к отрицательному. Таким образом, имеем следующее соответствие:
X о- Т; x о-1, X о t;
p о tp, q о tq, p + q = l о tp + tq = 11.
Зависимая переменная в обоих случаях имеет смысл перемещения: u(x, X) — перемещение деформируемого тела из точки (x, X); u(t,t) — перемещение частицы к моменту времени (t, t). Модулю упругого сдвига m соответствует масса частицы m, касательному напряжению а соответствует импульс
8u (x, X) du (t, t)
s = m—-—— о m-
