Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
рз=р;-
Для того чтобы соударение происходило между моментом и моментом ^ при р=0, переменные должны удовлетворять двум условиям.
Пусть
А(Р!) = Ш) = 0
— эти два условия.
Положим
Л (Р!) = Т?р. /, (Р!) = тйч Р°* = т°* :(Л = з, 4.... 11).
21*
324
Новые методы небесной механики. III
Мы видим, что величины [3< являются голоморфными функциями ОТ и р; применяя принципы главы III, мы докажем, что то же самое относится и к величинам [3)[1в].
Для того чтобы соударение произошло между моментами и (в предположении р = 0), необходимы два условия, которые я записываю в виде
= (!)
Заменяя в соотношениях (1^ величины (3} их значениями в функции у? и р и полагая затем р = 0, я нахожу
Мт?) = Мт!) = о.
Положим тогда
°1 (Т?) = МтЗ) = Т^. р^ = т1 (к = 3......11);
я нижу, что В) и [З? — голоморфные функции от и р, а также от к? и, следовательно, от |3$.
Наконец, чтобы соударение произошло между моментами ?2 и ?0 + Т + необходимы два условия, которые я записываю в виде
М) = №) = о.
Заменяя в них величины их значениями в функции ^ и р и полагая затем р = 0, приведем их к виду
ъ (т<) = ъ (г!) = °-
Я полагаю
Ъ(г}) = тЬ1’ Ъ (Тс) = т*н-. Р* = т1 (* = 3 и)
и опять вижу, что величины [3“, [3), [3< — голоморфные функции от К* и р; следовательно, [3? ЯВЛЯЮТСЯ голоморфными функциями ОТ Т?, р и т.
Следовательно, соотношения [3? = {35 представляют собой равенства, обе части которых голоморфны относительно у?, р и т. Анализ этих уравнений выполняется так же, как в главе III. Он докажет существование решений второго вида.
Я не считаю необходимым вдаваться в большие подробности, ибо эти решения слишком отклоняются от истинных орбит небесных тел.
Глава XXXIII ДВОЯКО-АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
Различные способы геометрического представления
392. Для изучения двояко-асимптотических решений мы ограничимся сейчас весьма частным случаем п. 9, когда масса возмущаемой планеты равна нулю, орбита возмущающей планеты круговая, наклоны равны нулю. Тогда задача трех тел допускает интеграл, хорошо известный под названием интеграла Якоби. Возвратимся к изучению этой задачи п. 9 в п. 299; мы должны будем различать несколько случаев. На стр. 145 мы видели, что должно существовать неравенство
Затем мы различали случай, когда тг намного меньше тг и когда —h достаточно велико (стр. 146), и мы видели, что кривая
распадается на три замкнутые ветви, которые мы назвали Сх, С2 и С3\ следовательно, в силу неравенства (1) точка ?, rt должна всегда оставаться внутри Сj, или всегда внутри С2, или всегда вне С3 (?, tj — прямоугольные координаты возмущаемой планеты относительно подвижных осей).
В дальнейшем мы предположим, что значение постоянной —h достаточно велико, чтобы кривая (2) также распадалась на три замкнутые ветви и чтобы точка ?, ц всегда оставалась внутри С2. Таким образом, расстояние г2 возмущаемой планеты от центрального тела может обратиться в нуль, но этого не произойдет с расстоянием гг между двумя планетами.
Это предположение соответствует следующему, которое мы сделали на стр. 178, а именно, что кривая F=C имеет вид, представленный на рис. 9, и что точка хх, хъ остается на дуге АВ.
Мы примем сейчас обозначения п. 313; введем, следовательно, кенле-ровы переменные L, G, I, g. Но имеется два способа определения этих кеплеровых переменных. Мы могли бы, как в п. 9, отнести возмущаемое тело к центру тяжести возмущающего и центрального тел и рассмотреть оскулирующий эллипс, описанный вокруг этого центра тяжести. Однако
+ ^) = V + T^ + ^
(1)
^ + у(Е* + Ч*) = -А
(2)
326
Новые методы небесной механики. III
предпочтительнее отнести возмущаемое тело к самому центральному телу и рассмотреть оскулирующий эллипс, описанный вокруг этого центрального тела.
Эти два метода одинаково законны; в самом деле, мы видели в п. И, что можно отнести тело В к телу А, а тело С — к центру тяжести А и В. Ясно, что можно было бы также отнести С к А, а В — к центру тяжести А и С. Если А представляет центральное тело, В — возмущающее тело и С — возмущаемое тело, то мы видим, что первым решением является то, которое было принято в п. 9, и что во втором решении, которое мы примем с этих пор, оба тела В и С отнесены к центральному телу, поскольку центр тяжести А и С лежит в А, так как масса С равна нулю.
Тогда имеем
где |і и 1 — р. означают массы возмущающего тела и центрального тела, Гу — расстояние между двумя планетами, 1 — постоянное расстояние возмущающего тела от центрального тела, г2 — расстояние возмущаемого тела от центрального тела.
Как б п. 313, положим
Ху ~ В — С, ^2 ~ В -{- С,
2Уl = l — g + t, 2У2 = 1 + ё — *’
Мы видим — и это важное обстоятельство, на которое я хотел бы обратить внимание,— что в области, из которой точка ?, ц не может выйти,’функция Fx всегда остается конечной.
Мы примем способ представления, указанный на стр. 178, и изобразим положение системы точкой пространства, координаты которой суть
v ^х2 COS у2
Л. ------------------------ -р=.---------------------,
Ух2 + ^Ху — 2 У Ху COS У у
v Vz2 sin у2 у 2^1! sin ух
X — — " . — — _ _ у Xj - — . . —~ j— т
