Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть теперь А'В' — прямая, представляющая относительную скорость Р относительно Рх после соударения; А'В' равно по величине А В, а расстояние Рх от А'В' равно 8.
Вот, наконец, правило для определения направления А'В'. Точка Рх и две прямые А В и А'В' лежат в одной и той же плоскости (с точностью до бесконечно малых высшего порядка); угол между АВ и А'В' определяется следующим образом: тангенс половины этого угла пропорционален 8 и квадрату длины АВ.
Таким образом, мы видим, что направление А'В' может быть любым.
Следовательно, единственные условия, которым подчинены наши че-
320
Новые методы небесной механики. III
тыре скорости, заключаются в следующем: постоянство скорости центра масс по величине и по направлению; постоянство относительной скорости только по величине. Эти условия можно также сформулировать так: живая сила и постоянные площадей не должны изменяться в результате соударения.
388. Попытаемся построить орбиты с соударениями, которые являются пределами, к которым стремятся решения второго вида, когда р. стремится к нулю.
Прежде всего я замечаю, что для того чтобы подобная орбита была периодической, необходимо предположить, по крайней мере, два соударения. Предположим сначала, что два последовательных соударения никогда не имеют места в одной и той же точке. Итак, пусть Е и Ег — эллипсы, описанные планетами Р и Р1 в промежутке времени между двумя последовательными соударениями. Эти два эллипса должны будут пересечься в двух точках, а так как они имеют общий фокус, то они лежат в одной и той же плоскости, если только две точки пересечения и фокус не находятся на прямой линии.
Предположим, что мы находимся в условиях этого исключительного случая; пусть () и — две точки пересечения эллипсов Е и Ег, которые, как я предполагаю, не лежат в одной и той же плоскости; эти две точки лежат на прямой линии с фокусом Е; пусть Е' и Е[ — эллипсы, описанные двумя планетами после соударения. Они пройдут через точку в которой происходит соударение, и, вообще говоря, не будут лежать в одной и той же плоскости; их плоскости пересекутся по прямой Е(), так что их вторая точка пересечения (которая должна существовать, если два последовательных соударения никогда не имеют места в одной и той же точке) будет находиться на этой прямой ?. Я добавляю, что два эллипса Е и Ех будут иметь один и тот же параметр. В самом деле, так как точки Е, и лежат на прямой линии, то обратная величина
1 1
параметра эллипса Е или эллипса Ех будет равна 2р^'^2Рг0Г'
Вот каким образом следует поступить при этих условиях. Предположим для определенности четыре соударения; пусть @4, @г, @3, @4 — точки, в которых имеют место эти четыре соударения.
Мы можем произвольным образом задать эти четыре точки, лишь бы они, разумеется, лежали на одной и той же прямой, проходящей через Р.
Мы должны построить два эллипса Е и й1, пересекающиеся в и (?2, два эллипса Е' и Е[, пересекающиеся в (?2 и ()3, еще два эллипса Е" и Е'[, пересекающиеся в ()3 и (?4, и, наконец, еще два Ея и Е", пересекающиеся в И
Орбита Р состоит из дуг, принадлежащих четырем эллипсам Е, Е1, Е", Е", а орбита Рг—из дуг, принадлежащих четырем эллипсам/^, Е[,
Е1, Е[.
Периодические решения второго вида
321
Мы зададим себе произвольным образом постоянную живых сил и постоянные площадей; эти постоянные должны быть одинаковыми для промежутка времени между двумя первыми соударениями (орбиты Е и Ег), для следующего промежутка времени и для всех других промежутков; согласно предыдущему пункту, — это единственное условие, которое мы должны выполнить.
Вот как мы поступим, чтобы построить Е и Ех: рассмотрим движение трех тел; так как мы предполагаем, что р=0, то это движение является кеплеровым, и центральное тело можно рассматривать как неподвижное в Е. Мы знаем полную живую силу системы. Две планеты Р и Рг должны одновременно выйти из точки чтобы одновременно прийти в точку @2. Когда Р и Рг идут из в @2> истинная долгота Р увеличивается на (2яг+1) а истинная долгота Рг увеличивается на (2пгх-(-1) гс. Мы можем еще задать себе произвольным образом два целых т и тх. Тогда задача определена полностью; важно заметить, что наклон орбит в нее не входит; чтобы решить ее, можно предположить движение плоским. Задачу всегда можно решить; достаточно, в самом деле, приложить принцип Мопертюи, и действие по Мопертюи, существенно положительное, всегда имеет минимум.
Остается определить плоскости двух эллипсов. Мы знаем постоянные площадей; следовательно, мы знаем неизменную плоскость, которая проходит через прямую Е(}1(}2', секториальная скорость системы представляется вектором, перпендикулярным к неизменной плоскости и известным нам по величине и по направлению; он равен геометрической сумме секториальных скоростей двух планет, изображаемых двумя векторами, которые нам известны по величине, поскольку они равны соответственно тр и трр, где т и тп1 — массы двух планет, ар — общий параметр двух эллипсов Е и Ег. Следовательно, мы можем построить направления этих двух составляющих векторов, которые перпендикулярны соответственно к плоскости Е и к плоскости Ег.
