Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Аналогично мы определим Е' и 2?/, Е" и Е”, . , .
389. Предположим теперь, что все последовательные соударения имеют место в одной и той же точке (). Период будет разделен на столько интервалов, сколько будет соударений; рассмотрим один из этих интервалов, в течение которого две планеты описывают два эллипса Е и Ех. Как ж в предыдущем пункте, мы зададим себе постоянные живых сил и площадей, которые должны быть одними и теми же для всех интервалов, и речь идет о построении Е и Е1.
Предположим, что в течение рассматриваемого интервала планета Р совершила ш, а планета Р1 — т1 полных обращений; мы сможем задать себе произвольным образом два целых т и тп^. Зная эти два целых числа, мы будем знать отношение больших осей, а так как мы знаем постоянную живых сил, то узнаем и сами большие оси.
21 А. Пуанкаре, т. II
322
Новые методы небесной механики. III
С другой стороны, мы знаем постоянные площадей и, следовательно, вектор, который представляет секториальную скорость системы. Этот вектор может быть разложен бесконечным числом способов на два составляющих вектора, представляющих секториальные скорости Р и /V
Зададим это разложение произвольным образом. Зная составляющие векторы, узнаем плоскости двух эллипсов и их параметры. Остается узнать ориентацию каждого из эллипсов в его плоскости; мы определим ее так, чтобы эллипс проходил через точку ().
В итоге мы смогли выбрать произвольно:
1) точку @ и число интервалов;
2) для всех интервалов постоянную живых сил и постоянную площадей;
3) для каждого интервала целые т и т1 и разложение секториального вектора.
Однако чтобы задача была возможной, эти произвольные параметры должны удовлетворять некоторым неравенствам, которые я не буду писать.
390. Оставим в стороне эти исключительные случаи, когда все соударения имеют место на одной и той же прямой или в одной и той же точке, И перейдем К случаю ПЛОСКОГО движения. Пусть ().2, ... — ТОЧКИ, в которых происходят последовательные соударения; мы зададим себе произвольно постоянную живых сил и постоянную площадей, которые должны быть одними и теми же для всех интервалов.
Рассмотрим один из интервалов, например, тот, в течение которого две планеты идут из в @2. Мы зададим произвольно величины двух радиусов-векторов и Р(?г, но не зададим ни угол между этими двумя радиусами-векторами, ни продолжительность интервала.
Мы знаем, что в этом интервале разность долготы двух планет увеличилась на 2тте. Зафиксируем произвольно целое т.
Зная это целое число, две длины ?(?! и Е(}2, две постоянные живых сил и площадей, мы имеем все, что необходимо для определения орбит Е и Ег. Это сводится снова к приложению принципа Мопертюи, но с определением действия по Гамильтону, как в п. 339, и выводом из него действия по Мопертюи при помощи процедуры пунктов 336 и 337. Так как, к сожалению, это действие по Мопертюи не всегда положительно, то мы не уверены, имеет ли оно всегда минимум.
В итоге мы можем выбрать произвольно:
1) число интервалов и длины Е(21У Е(}г . . .;
2) постоянные площадей и живых сил;
3) для каждого интервала целое т.
Все полученные таким образом орбиты с соударениями плоские; среди периодических орбит второго вида, которые сводятся к этим орбитам с соударениями при р=0, наверняка имеются плоские; возможно также,
Периодические решения, второго вида
323
ЧТО среди НИХ имеются такие, которые ие ЯВЛЯЮТСЯ ПЛОСКИМИ при р > О и становятся плоскими только в пределе.
391. Посмотрим теперь, как можно доказать существование периодических решений второго вида, которые в пределе сводятся к орбитам с соударениями, только что нами построенным.
Рассмотрим одну из орбит с соударениями, и пусть — момент, предшествующий первому соударению, и ^ — момент, заключенный между первым и вторым соударениями. Аналогично, пусть — момент, заключенный между вторым и третьим соударениями. Для определенности я предполагаю, что имеется три соударения, и называю Т периодом, так что в момент ^-{-Т ТРИ тела находятся в том же относительном положении, что и в момент ?0.
Я беру за переменные большие оси, наклоны и эксцентриситеты и разности средних долгот, долгот перигелиев и узлов; всего будет одиннадцать переменных, так что орбиту мы будем рассматривать как периодическую, если три тела будут снова находиться в том же самом относительном положении в конце периода.
Пусть х°, . . ., — значения этих переменных в момент ?0 для
рассматриваемой орбиты с соударениями и, следовательно, при р=0; пусть х\ — значения этих переменных в момент Ь1 для этой же орбиты с соударениями, х\ — их значения в момент и х-1 — их значения в момент *о+2\ Мы будем иметь
х/ ~ ^5 + 2т4п,
где т. — целое, которое должно быть нулем для больших осей, эксцентриситетов и наклонов.
Рассмотрим теперь орбиту, мало отличающуюся от орбиты с соударениями, и дадим р очень малое значение, но отличное от нуля. На этой новой орбите наши переменные примут значения 1$ в момент <0, *}+Р1 — в момент ?1( $ — в момент ?г и, наконец, — в момент
т.
Условием того, чтобы решение было периодическим с периодом будет
