Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
(2т), (2 р), (2т +1), (2р + 1)|
(2т -)- 1), (2 Р), (2т), (2р + 1)|
(2 т) (2р + 1), (2т + 1), (2р)>
(2т), (2р)> (2т— 1), (2р 1),
так же, как те же последовательности, взятые в обратном порядке, и аналогичные последовательности, в которых 2пг+1 и 2р+1 заменены на 2т—1 и
2р—1.
397. Если попытаться представить себе фигуру, образованную этими двумя кривыми и их бесчисленными пересечениями, каждое из которых соответствует двояко-асимптотическому решению, то эти пересечения образуют нечто вроде решетки, ткани, сети с бесконечно тесными петлями; ви одна из двух кривых никогда не должна пересечь самое себя, но она должна навиваться на самое себя очень сложным образом, чтобы пересечь бесконечно много раз все петли сети.
Поражаешься сложности этой фигуры, которую я даже не пытаюсь изобразить. Ничто не является более подходящим, чтобы дать нам представление о сложности задачи трех тел и, вообще, всех задач динамики, в которых нет однозначного интеграла и в которых ряды Болина расходятся.
Остаются возможными различные предположения.
1. Можно предположить, что множество точек двух асимптотических кривых Е0, или, скорее, множество точек, в окрестности которых находится бесконечное число точек, принадлежащих Е0, т. е. множество Е'0 — «производное от Ео», можно предположить, говорю я, что множество Е'0 занимает всю полуплоскость. Тогда следовало бы заключить о неустойчивости солнечной системы.
2. Можно предположить, что множество Е'0 имеет конечную площадь и занимает конечную область полуплоскости, но не занимает ее целиком; либо, что часть этой полуплоскости остается вне петель нашей сети, либо, что внутри одной из этих петель остается «пробел». Пусть, например, ио — одна из этих петель, ограниченная двумя или несколькими дугами асимптотических кривых двух семейств. Построим их последовательные последующие и применим к ним методику п. 291. Образуем, как на стр. 132,
ия, с/6, Щ, иь и" Е.
Область Е, если она конечна, будет представлять один из пробелов, о которых мы только что говорили. Кажется, что можно было бы применить к ней рассуждение п. 294 и заключить, что эта область должна совпасть с одной из ее последующих. Но множество Е может состоять из области
22*
340
Новые методы небесной механики. III
конечной площади и множества, расположенного вне этой области, общая площадь которого равна нулю. Все, что мы можем заключить согласно изложенному на стр. 138, состоит в том, что Ех (Х-я последующая Е) содержит Е и что множество Ех—Е обладает нулевой площадью. Аналогично, множества Е—Е_х, Е_х—Е_зх, . . ., E_^iX—E_lT&гл будут иметь нулевые площади (мы понимаем под площадью множества значение интеграла J, распространенного на это множество). А с другой стороны, Я_(И+1)Х является частью Е_пХ. Когда п неограниченно возрастает, Е_пХ стремится к множеству е, которое содержит все точки, составляющие одновременно часть всех множеств Е_пХ. Площадь этого множества е конечна и равна площади Е. Наконец, е совпадает со своей Х-й последующей.
3. Наконец, можно предположить, что множество Е'в имеет нулевую площадь. Тогда это множество будет аналогичным «совершенным множествам, которые не плотны ни в одном интервале» [20].
398. Мы могли бы представить различные точки пересечения двух кривых следующим образом. Пусть х — переменная, которая изменяется от —со до +оз, когда мы следуем по асимптотической кривой первого семейства М0А0 от точки Мп до бесконечности, и увеличивается на единицу, когда мы переходим от точки к ее пятой последующей, например от А0 к Аь (предполагая для определенности, что мы находимся в условиях рисунка на стр. 175). Пусть у — другая переменная, которая изменяется от + со до —со, когда мы следуем по кривой второго семейства М3ВЬ от точки М3 до бесконечности, и которая увеличивается на единицу, когда мы переходим от точки к ее пятой последующей.
Различные точки пересечения двух кривых характеризуются парой значений х и у л каждая из них может быть представлена точкой на плоскости, прямоугольные координаты которой суть х л у.
Таким образом, мы будем иметь на плоскости бесконечное число точек, представляющих двояко-асимптотические решения; из каждой из этих точек можно получить бесконечное число других; в самом деле, если точка х, у соответствует пересечению двух кривых, то это же будет справедливо для точек
z+l, у+1; ж+2, у+2; . . .; х+п, у+п,
где п — целое, положительное или отрицательное; для того чтобы найти все изображающие точки, достаточно будет найти все те, которые заключены в полосе 0 <[ х <[ 1 или в полосе 0 < у < 1.
Другое замечапие состоит в том, что порядок, в котором будут следовать проекции этих изображающих точек на оси х, не будет иметь никакого отношения к порядку, в котором будут следовать их проекции на оси у; и вот какое отсюда следствие.
Рассмотрим несколько двояко-асимптотических решений; при отрицательных и очень больших t все они будут очень близки к периодическому решению и представятся в определенном порядке, причем некоторые из
Двояко-асимптотические решения
341
них будут более близкими, а другие менее близкими к периодическому решению.
