Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Пуанкаре А. -> "Избранные труды" -> 95

Избранные труды - Пуанкаре А.

Пуанкаре А. Избранные труды — Москва , 1972. — 359 c.
Скачать (прямая ссылка): izbrannyetrudi1972.djvu
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 111 >> Следующая

Рассмотрим тогда периодическое решение; согласно принятым соглашениям, решение будет рассматриваться как периодическое, лишь бы разности величин у увеличивались на кратные 2 к, когда ? увеличивается на период; в самом деле, F зависит только от этих разностей.
Итак, пусть
2^7., 2k2Tz, 2/c3ir, 2k4r., 2к&п
— количества, на которые увеличиваются
Ух—Уы Уз—Ут Уз—Ут Уи~Уб1 Уь~Уч
когда ? увеличивается на период.
Все, что мы смогли установить в главе III — это что существуют периодические решения, соответствующие любым значениям /с1 и к2, но в предположении, что к3, к4 и къ —пули.
318
Новые методы небесной механики. III
Можно спросить себя, существуют ли также здесь, как и в общем случае, периодические решения, соответствующие любым значениям пяти целых к, решения, которые я могу назвать решениями второго вида.
386. Существуют ли эти решения второго вида? Сразу же возникает соблазн ответить утвердительно, опираясь на соображения непрерывности и учитывая, что достаточно очень мало изменить вид функции Е, чтобы получить канонические уравнения, к которым приложимы рассуждения п. 42.
Но тогда возникает одна трудность: чем станут эти решения, когда мы обратим в нуль величину, названную нами р, которая пропорциональна возмущающим массам?
Если возмущающие массы равны нулю, две планеты подчиняются законам Кеплера; перигелии и узлы неподвижны, так что числа А3, /с4 и кй не могут иметь, как кажется, иного значения, чем нуль.
Вот как можно преодолеть это затруднение. Если массы бесконечно малы, то две планеты будут подчиняться законам Кеплера, если только расстояние между ними само не становится в некоторые моменты бесконечно малым.
В самом деле, предположим, что две планеты, сначала очень удаленные друг от друга, как одна, так и другая, описывают кеплеров эллипс. Может случиться, что эти два эллипса пересекаются или проходят очень близко друг от друга, и притом таким образом, что в некоторый момент расстояние между двумя планетами становится очень малым; в этот момент их возмущающее взаимодействие может стать ощутимым, и две орбиты будут подвержены значительным возмущениям. Затем планеты, будучи снова удаленными друг от друга, опять будут описывать кепле-ровы эллипсы. Только эти новые эллипсы будут сильно отличаться от старых; перигелии и узлы подверглись значительным изменениям.
Я назову это явление соударением, хотя речь не идет о соударении в собственном смысле этого слова, поскольку две планеты не приходят в соприкосновение, а достаточно, чтобы их расстояние стало достаточно малым для того, чтобы притяжение было ощутимым, несмотря на малость масс.
Как бы то ни было, если принять в расчет орбиты с соударениями, то будет неправильным говорить, что при р=0 перигелии и узлы неподвижны и что, следовательно, числа кЛ, и кь должны быть нулями.
Таким образом, мы пришли к мысли, что решения второго вида существуют И ЧТО, если устремить (1 к нулю, то они стремятся к орбитам с рядом соударений. Но этого краткого очерка недостаточно, и необходимо более глубокое исследование.
387. Отдадим себе сначала отчет в последствиях соударения; пусть Е и Е' — эллипсы, описанные первой планетой до и после соударения; пусть Ех и Е\ — эллипсы, описанные второй планетой. Ясно, что эти
Периодические решения второго вида
319
четыре эллипса должны пересечься в одной и той же точке, и притом таким образом, чтобы две планеты, описывая эти четыре орбиты, проходили через точку пересечения в момент соударения.
В самом деле, пока их расстояние ощутимо, две планеты описывают кривые, мало отличающиеся от эллипса; в течение очень короткого времени, когда их расстояние очень мало, они, наоборот, описывают орбиты, очень отличающиеся от эллипса.
Эти орбиты сводятся к малым дугам кривой С очень малого радиуса кривизны, очень мало отличающимся от дуг гиперболы. В пределе очень короткое время соударения сводится к мгновению; малые дуги кривой С сводятся к точке, и орбита, сводящаяся к двум дугам эллипса, имеет угловую точку.
Чтобы окончательно определить орбиты Е, Е', Ег, Е[, необходимо знать по величине и по направлению скорости двух планет Р и Рх до и после соударения. Какие соотношения имеются между этими скоростями? Я замечаю прежде всего, что скорость центра масс двух тел Р и Рх должна быть одной и той же до и после соударения, и притом как по величине, так и по направлению.
Рассмотрим теперь скорость Р относительно Рх\ эта скорость должна быть одной и той же по величине до и после соударения; но она может отличаться по направлению.
Вот правило для определения направления этой скорости после соударения.
Рассмотрим подвижные оси, начало которых лежит в Рх, и рассмотрим прямую АВ, представляющую по величине и направлению относительную скорость Р относительно Рх до соударения. Эта прямая АВ должна проходить через точку Рх, поскольку тело, которое имеет скорость, представляемую ею, должно столкнуться с точкой Рх, неподвижной относительно подвижных осей. Но это справедливо только в пределе, это справедливо только потому, что мы рассматриваем как бесконечно малые массы, с одной стороны, так и с другой — бесконечно малое расстояние, на котором взаимное притяжение Р и Рх начинает ощущаться, т. е. то, что можно было бы назвать радиусом действия. Следовательно, было бы точнее сказать, что расстояние 8 точки Р от прямой АВ является бесконечно малой того же порядка, что и радиус действия.
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 111 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed