Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Ш — 0, ш = ти.
Если положить
п 2 к .
С= аГ + Т+
то кривая F'— С проходит через начало и имеет в нем двойную точку. Касательные в двойной точке заданы уравнением
А — + р.,В + р.т cos со = 0.
Следовательно, если
w~т + 1*Р>11т. 0)
то касательные мнимы. Если
fiT>-p~ у + ^>— № (2)
то касательные вещественны.
314
Новые методы небесной механики. III
Если, наконец,
—Т + Н-Р.
(3)
то касательные снова мнимы.
Коэффициент р положителен; я написал предыдущие неравенства в предположении, что у также положительно. Впрочем, если бы у было отрицательным, то мы дол?кны были только изменить ш на т..
Двойная точка в начале соответствует решению первого сорта, т. е. планете А по Дарвину. Мы видим, что это решение устойчиво, когда имеют место неравенства (1) или (3), и неустойчиво, когда имеют место неравенства (2).
Изучим теперь двойные точки, которые могут находиться на прямой (0 = 0.
Если мы положим со=0, то функция Р' примет вид
Если, оставляя к постоянным, варьировать хх от 0 до к, то мы видим, что максимумы и минимумы Р’ заданы уравнением
которое допускает решение, если имеет место неравенство (3), и не допускает его в противном случае.
Следовательно, если неравенство (3) не имеет места, то функция Р’ монотонно убывает; если оно имеет место, то функция Р’ сначала возрастает, достигает максимума, а затем убывает.
Этот максимум соответствует двойной точке, расположенной на прямой (о=0, или, скорее, двум двойным точкам, симметричным относительно начала.
Но нам необходимо узнать, сколько этих двойных точек мы находим для заданного значения постоянной С; уравнение (5) дает хх в функции к\ нужно вывести из него хх в функции С.
Но уравнения (4) и (5) можно написать в виде
(4)
(5)
откуда
ас ар’ . а/" ак_________аг_^к_
ахх ахх ‘ ак ахх ак ахх 1
иг аак п ах\ акахх ахх ~~ •
Свойства решений второго рода
315
Но, пренебрегая членами с р., мы имеем
\ — 1 йк 6х,
откуда
_ 12
йкйх1 ’ с1х\ (к —
откуда
— =-1
’ ах)
откуда следует, что хх — монотонно убывающая функция от С.
Следовательно, для одного значения С мы имеем только не более одного максимума, т. е. имеем не более двух двойных точек, симметричных друг другу относительно начала, на прямой ш=0.
Итак, пусть С0 — значение С, удовлетворяющее двум равенствам
Мы увидим, что при С ]> С0 на прямой ш=0 не будет двойных точек и что при С < С0 их^будет две.
Такое же рассуждение приложимо к случаю двойных точек, расположенных на прямой ш=7г. Значения хх будут заданы уравнением
которое допускает решение, если имеют место неравенства (2) или (3). Тогда, если Сх — значение С, удовлетворяющее двум равенствам
упг 2 I к .
('о — "?Г + ~2 + И-1 ?р- !" + Р (Р + Т) = °-
(к-хх) з
4
Г + 1‘(Р + Т) = 01
(бЫэ)
то условием того, чтобы на прямой
со = я
существовали две двойные точки, будет неравенство С <С Сх.
316
Новые методы небесной механики. III
Заметим, что С1 > С0, что С0 — значение С, при котором мы переходим от неравенства (2) к неравенству (3), а Сг — такое значение С, при котором мы переходим от неравенства (1) к неравенству (2).
При этом, строя кривые, мы легко найдем, что для двойных точек, лежащих на ш=0, касательные вещественны, и что для двойных точек, лежащих на и>=тс, они мнимы.
Следовательно, мы можем резюмировать наши результаты следующим образом.
Первый случай
с>с1.
Имеет место неравенство (1).
Решение первого сорта (планета А) устойчиво.
Решений второго сорта нет (орбита с двойной точкой).
Второй случай
С1>С>С0.
Имеют место неравенства (2).
Решение первого сорта стало неустойчивым.
Имеется одно решение второго сорта, которое устойчиво.
Третий случай
С <С0.
Имеет место неравенство (3).
Решение первого сорта вновь стало устойчивым.
Имеются два решения второго сорта, одно — устойчивое, а другое — неустойчивое; первое соответствует двум двойным точкам, расположенным на прямой ш= тс, а второе — двум двойным точкам, расположенным на прямой ш=0.
Эти заключения верны, лишь бы р было достаточно малым; является ли значение р = 1/101 принятое Дарвином, достаточно малым?
Я этого не проверял, но это кажется весьма вероятным.
Таким образом, правдоподобно, что если бы Дарвин продолжил изу чение планет А для значений С, меньших чем 38, то он снова нашел бы устойчивые орбиты.
Глава XXXII ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ВТОРОГО ВИДА
385. Возьмем снова уравнения п. 13
dxi _ dF dy{ dF в- p i .. с т м\
-w—iTx7' ^=^0 + Р^1+.-- (1)
с р степенями свободы. Согласно тому, что мы видели в п. 42, эти уравнения будут допускать такие периодические решения, что когда t увеличивается на период Т, переменные уи у2, ур увеличиваются соот-
ветственно на
2/cjir, 2к2тс, .. ., 2крт..
Целые к17 к.2, hр могут быть любыми.
Однако это справедливо, только если гессиан от F0 по х не равен нулю. Доказательство п. 42 теряет силу, когда этот гессиан есть нуль и, в частности, когда F0 зависит не от всех переменных х.
Но это как раз имеет место в задаче трех тел. Я напоминаю, что ylt Уг\ У31 УУ5i Ув представляют тогда соответственно средние долготы планет, средние долготы перигелиев и средние долготы узлов и что F0 зависит только от двух первых переменных хх и хг, которые пропорциональны корням квадратным из больших осей.
