Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Однако имеется другое средство, которое в сущности не отличается от первого. Легко сообразить, что аналогичная трудность уже встречалась в главе XII; следовательно, мы приходим к необходимости сделать, замену переменных, аналогичную замене п. 145.
Положим сначала
Е2 = \J2x2 COS у2, Tj2 = V Зж2 sin у2,
затем
S = 5^2 + X[Vl + где S1 — функция от $2, т]2, х[, yv Пусть далее
dS , dSx , dS dS1
330
Новые методы небесной механики. III
и, наконец,
Sa = \jlx2 cos у2, i\2 = sj2x'2 sin у2.
Сначала я замечаю, что каноническая форма уравнений не изменится, когда я перейду от переменных xlf yv х2, у2 к xv ух, S2, т]21 затем к х[, у[, "Па, затем, наконец, к х[, у'г, х2, у'2.
Мне остается выбрать функцию Sv
Я знаю, что функция F1 в рассматриваемой области является голоморфной функцией от \J2x1 cos у1г \/2хг sin ylt \j2x2 cos y2, \j2x2 sin y2. Я хочу, чтобы она осталась голоморфной функцией от новых переменных
\J2x\cosy\, \j2x\sm у,'.
ДЛЯ -ЭТОГО НуЖНО Потребовать, Чтобы Старые Переменные \/2х{ s°n У( были голоморфными функциями ОТ НОВЫХ переменных \12х’^аУ{ И ОТ [X.
В свою очередь для этого достаточно предположить, что jSj — голоморфная функция от
\j2x[ cos уг, \J2х\ sin yv Ifr 1\2, p.
и делится на x[.
Затем потребуем, чтобы для нашего периодического решения а было $2 = т]' = 0, х[ = х° = const.
Итак, пусть
12 = И, т]2 = В, х1 = С
— уравнения для периодического решения; А, В, С — функции от yv периодические с периодом 2к и разложимые по степеням р..
Тогда С—В также будет периодической функцией от г^; пусть — aVl
ее среднее значение; мы можем найти другую такую периодическую функцию я, что
dy 1 1 1 dy1
В таком случае мы должны будем только предположить, что при x[ = xl функция р.!?! сводится к
я — В?2 + A-rf. (2)
Этого будет достаточно, чтобы уравнения для периодического реше-«ия сводились в новых переменных к
Ег = 1\'г = 0, х[ - х°.
Двояко-асимптотические решения
331
Очевидно, можно найти функцию р^, которая будет разложимой по ?степеням \]2х'11™у1 и делиться на х[ и которая в то же время сводится к выражению (2) при х\ = 25.
Примем новые переменные х[, у[, х2, у'2.
Функция Р', которая была голоморфной относительно \/2х1^у1, а/2ж2 будет также голоморфной относительно ^2х'г1°пу[, \/2х'г^у'2. С другой стороны, так как одним из решений дифференциальных уравнений является
= Т\'2 = 0, х[ = 2%, то мы должны иметь при = ?»]' 0, х[ = хЧ следующие соотношения:
Ё?1—^?1—^1—п
а$2 — егт,' — ау[ —и- п
При малых значениях Ъ2 и т\'2 функция Р' разложима по степеням 1'2 и т\'2. В силу соотношений (3), при х[~х\ члепы первой степени этого разложения исчезают, а члены нулевой степени сводятся к постоянной, не зависящей от р.
Эта постоянная не может, кроме того, быть не чем иным, как постоянной живых сил С, так что условия ?? = у\2 = 0, х\ = ж1’ можно заменить следующими:
^2 = ^2 — О, & = с.
Таким образом, при Р = С члены первой степени относительно и т]' в разложении Р исчезают. Трудность проистекала от того, что Рг и ^ содержали члены первой степени относительно
?2 = ^2х2 соб у2, т)2 = ^2х2 бш у2,
что, следовательно, производная (1Рл1(1х2, имея члены с 11\/х2, обращалась в бесконечность при ж2 = 0.
Здесь эта трудность более не существует; мы не имеем более членов иервой степени относительно ^2> следовательно, производная й/'Уйж;, остается конечной даже при ж2 = 0, и производная которая очень
мало отличается от (1Р0/йх2, всегда сохраняет один и тот же знак. Следовательно, с нашими новыми переменными, которые, кроме того, отличаются от старых только на очень малые величины порядка р, мы всегда ?будем иметь
V Г)
1**
Примем с нашими новыми переменными условие, аналогичное условию предыдущего параграфа, и представим положение системы точкой
332
Новые методы небесной механики. III
пространства, координаты которой есть
'Іх'2-\-Ьх\— 2 у/х[ сое у[ ’ + — 2^г[созу[ ’
У_____________2 '/х[ від у[________
\/х'п + 4х{ — 2 соэ у[
Все, что мы говорили, сохранит силу; только, так как йа^/й^ никогда не может обратиться в нуль, всякая точка полуплоскости, без исключения, будет иметь последующую.
Теперь я говорю, что интегральный инвариант всегда положителен. Можно было бы сомневаться здесь только относительно знаменателя, который с теми же переменными был х1п1 + х^г2 и теперь равен
В этой форме легко видеть, что знаменатель является голоморфным относительно величин Е', У и (X. Но при [1 = 0 функция Р1 сводится к
и легко проверить, что знаменатель всегда положителен. Следовательно, он положителен также и для малых значений р..
394. Итак, в последующем мы примем переменные, определенные в предыдущем пункте. При этом отбросим штрихи, ставшие ненужными, и будем писать Р, х( и у. вместо Р1, х\ и у\.
Тогда мы имеем интегральный инвариант (в смысле п. 305)
что, рассматривая Р1 как функцию четырех переменных
можно написать в виде
2_______і хг — х\
(х'і + х2)і'Ґ 2
8х% (г 4)
ар ар
ар
ах 2
ахаг,
где
в = [(А' — і)3 + г*} [(х + і)2 + г\
Двояко-асимптотические решения
333
Сначала я замечу, что этот интегральный инвариант, который всегда положителен, остается конечным, когда он распространяется на всю полуплоскость.
