Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Свойства решений второго рода
309
Приложение к орбитам Дарвина
381. В томе XXI «Acta matliematica» Дж. Г. Дарвин [18] подробно изучил некоторые периодические решения. Он принимает предположения п. 9 и рассматривает возмущающую планету, которую называет Юпитером и которой приписывает массу, в десять раз меньшую, чем масса Солнца. Эта фиктивная планета описывает около Солнца круговую орбиту, а возмущаемая малая планета нулевой массы движется в плоскости этой орбиты.
Так, он установил существование периодических решений, которые содержатся в периодических решениях, названных мною решениями первого сорта, и которые были подробно им изучены. Эти орбиты отнесены к подвижным осям, вращающимся вокруг Солнца с той же угловой скоростью, что и Юпитер; в относительном движении, отнесенном к этим подвижным осям, эти орбиты являются замкнутыми кривыми.
Первым классом периодических орбит является класс, названный Дарвином классом планет А. Орбита представляет собой замкнутую кривую, охватывающую Солнце, но не охватывающую Юпитер. Орбита устойчива, когда постоянная Якоби больше 39, и неустойчива в противном случае. Неустойчивость соответствует характеристическому показателю, имеющему мнимую часть гтс/Г.
Следовательно, для значений постоянной Якоби, близких к 39, существуют периодические решения второго рода с двойным периодом.
Соответствующая орбита будет замкнутой кривой с двойной точкой, совершающей два оборота вокруг Солнца. Два завитка этой кривой очень мало отличаются друг от друга и оба мало отличаются от круга.
Далее мы более подробно изучим эти решения второго рода.
Дарвин нашел также осциллирующие спутники, которые он называет а и Ь, о которых мы говорили в п. 52. Они всегда неустойчивы.
Наконец, он нашел спутников в собственном смысле, которые описывают относительно системы рассмотренных подвижных осей замкнутые кривые, охватывающие Юпитер, но не охватывающие Солнце.
При С =40 (С — постоянная Якоби) мы имеем только одного спутника А, который устойчив. При С=39,5 спутник А становится неустойчивым с вещественным показателем а; но мы имеем два новых спутника В ж С, второй — устойчивый, первый — неустойчивый с вещественным показателем а. При С=39 мы снова находим тот же результат; при С=38,5 спутник С становится неустойчивым с комплексным показателем а (мнимая часть которого равна 1тс/Г); наконец, при С=38 мы снова находим тот же результат.
Следовательно, мы должны рассмотреть три перехода:
1) переход спутника А от устойчивости к неустойчивости;
2) появление спутников В ж С;
3) переход спутника С от устойчивости к неустойчивости.
Два последних перехода не вызывают никаких затруднений.
310
Новые методы небесной механики. III
Мы видим, что одновременно появляются два периодических решения В ж С, сначала мало отличающиеся друг от друга; одно — устойчиво, другое — неустойчиво; показатель а для неустойчивого решения веществен.
Все это согласуется с выводами п. 378.
Переход от устойчивости к неустойчивости спутника С также не представляет затруднений, ибо показатель а в случае неустойчивости является комплексным; следовательно, мы находимся в условиях п. 380. Таким образом, существуют периодические решения второго рода, соответствующие замкнутым кривым, совершающим два оборота вокруг Юпитера,
382. Зато переход спутника А от устойчивости к неустойчивости представляет большие трудности, поскольку в случае неустойчивости показатель а веществен. Следовательно, согласно п. 378, должен был бы иметь место обмен устойчивостью с другими периодическими решениями, соответствующими замкнутым кривым, совершающим только один оборот вокруг Юпитера. Кажется, что это не вытекает из вычислений Дарвина.
Естественно, мы приходим к мысли, что неустойчивые спутники А, открытые Дарвином, не являются аналитическим продолжением его устойчивых спутников А.
Другие рассуждения приводят к тому же результату.
Орбиты устойчивых спутников А являются простыми замкнутыми кривыми; неустойчивые спутники А имеют орбиты в форме восьмерки.
Каким образом можно было бы перейти от одного случая к другому? Это можно сделать только по кривой, имеющей точку возврата; но в точке возврата скорость должна быть равной нулю, и по соображениям симметрии эта точка возврата могла бы находиться только на оси х; она не может быть между Солнцем и Юпитером. В самом деле, на рис. 1 Дарвин дает кривые нулевой скорости; при С > 40,18 эти кривые пересекают ось х между Солнцем и Юпитером; но это больше не имеет места при С <40,18, и переход имеет место между С=40 и С=39,5.
Остается предположение, что точка возврата находится за Юпитером, но оно также неудовлетворительно. Сравним две орбиты, соответствующие С=40 итС=39,5; первая дважды пересекает ось х под прямым углом, один раз за Юпитером, второй раз перед ним; пусть Р и @ — две точки пересечения; аналогично, вторая орбита, если оставить в стороне двойную точку, дважды пересекает ось х под прямым углом, один раз за и один раз перед Юпитером; пусть Р' и — две точки пересечения. Рассмотрим точку пересечения Р или Р', которая лежит за Юпитером, и посмотрим на знак йу!йЦ мы увидим, что как для одной, так и для другой орбиты этот знак положителен. Но производная йу/М должна была изменить знак в момент перехода через точку возврата.
