Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Точку Р, предполагаемую точку возврата, и точку Р' нельзя, следовательно, рассматривать как аналитическое продолжение друг друга.
Свойства решений второго рода
311
Тогда следовало бы предположить, что в какой-то момент произошел обмен между двумя точками пересечения орбиты спутника А и оси х, точка, находившаяся справа, переходит налево и обратно. Ничто в ходе кривых, построенных Дарвином, не позволяет сделать подобного предположения.
Следовательно, я замечаю, что неустойчивые спутники А не являются аналитическим продолжением устойчивых спутников А. Но тогда, чем стали устойчивые спутники А?
По этому поводу я могу только делать предположения, а чтобы можно было поступить иначе, следовало бы пересмотреть механические квадратуры Дарвина.
Но если изучить поведение кривых, то кажется, что в некоторый момент орбита спутника А должна пройти через Юпитер и что затем она становится тем, что Дарвин называет осциллирующим спутником.
383. Изучим ближе планеты А и переход этих планет от устойчивости к неустойчивости.
Орбиты этих планет соответствуют тому, что мы назвали периодическими решениями первого сорта (п. 40). В двойной точке орбита, которая делает два оборота вокруг Солнца и мало отличается от орбиты планеты А в момент, когда орбита этой планеты только что стала неустойчивой, соответствует тому, что мы назвали периодическими решениями второго сорта (п. 47).
В самом деле, если применить к решениям первого сорта методику, посредством которой мы вывели периодические решения второго рода из решений первого рода, то придем как раз к решениям второго сорта.
В решениях второго сорта средние аномалистические движения, мало отличающиеся от средних движений в собственном смысле, находятся в соизмеримости. Следовательно, мы должны ожидать, что для решения второго сорта (и, следовательно, для планеты А в момент перехода от устойчивости к неустойчивости) отношение средних движений будет близким к простому рациональному числу, а здесь оно будет даже близко к кратному 1/2, поскольку орбита должна сделать два оборота вокруг Солнца.
Другими словами, в момент перехода величина, которую Дарвин называет пТ, должна быть близкой к кратному и.
И это на самом деле имеет место; таблицы Дарвина нам дают:
С = 40 А устойчива п7’ = 154°,
С = 39,5 А устойчива п7' = 1650,
С = 39 А неустойчива пТ = 177°,
С = 38,5 А неустойчива пТ = 191°.
Мы видим, что переход должен совершиться приблизительно при пТ—170°, и это число близко к 180°.
312
Новые методы небесной механики. III
Среднее движение планеты А приблизительно равно, следовательно, утроенному среднему движению Юпитера.
Можно было бы подумать о приложении принципов главы XXX к изучению этих решений второго сорта, но мы встретились бы с трудностями, потому что мы находимся в исключительном случае. Лучше предпринять это изучение прямым путем.
384. Возьмем снова обозначения п. 313 и положим, как в этом пункте,
хх L — G, х2 = L + G,
2y1 = l — g + t, 2 y2 = l + g—t,
F' = R + G = F0 + i>.F1 + ...,
Р ___ 2 I х2 — *1
(*1 + х2)2 ' 2 *
Величина L должна иметь тот же знак, что и G (см. стр. 179), а эксцентриситет должен быть очень малым; так как х1 имеет порядок квадрата эксцентриситета, то эта переменная также будет очень малой.
Так как речь идет только об определении числа периодических решений и их устойчивости, то нам достаточно одного приближения.
Следовательно, мы пренебрежем y-2F2 и последующими членами. В члене [l-F1 учтем только вековые члены и члены очень долгого периода и, кроме того, отбросим высшие степени хх. Таким образом мы получим
Fx = а + Ьхj + схг cos со,
где а, Ъ, с — функции только х2 и где схх cos со — сохраненный член очень долгого периода.
Членами очень долгого периода являются члены с l-\-bg — 31, т. е. члены с 2у2 — уjj следовательно, мы имеем
Тогда
F' = (х~+^)2~ + '~~2~ + Р + bxi + СХ1 cos ®)'
и мы можем применить метод Делоне.
Канонические уравнения допускают интеграл
х2 + 2хг = к,
откуда
F' = + Т~~^Г + Р (fl + Ьх' + cxi cos “)?
С принятой степенью приближения мы можем заменить а, Ъ, с величинами
flo 2xjfl0, b0, с„,
Свойства решений второго рода
313
обозначая через а0, а', Ь0, с0 результат замены в a, dajdx2, b, с переменной х2 величиной к.
Таким образом,
“ = «о- Р = Ьо — 2а0. Т = со
обозначают постоянные, зависящие от к, и мы имеем
F' = (к - х,)г (g + + Тжз C0S(0)-
Будем рассматривать к как постоянную, \Jxx cos-^-, \/х1 sin -у- как прямоугольные координаты точки на плоскости и построим кривую
F' = C,
где С означает вторую постоянную.
Эта кривая зависит, таким образом, от двух постоянных к и С. Если она имеет двойную точку, то двойная точка будет соответствовать периодическому решению, которое будет устойчивым, если две касательные в двойной точке мнимые, и неустойчивым, если две касательные вещественны.
Заметим, что кривая симметрична относительно двух осей координат и что две двойные точки, симметричные друг другу относительно начала, не соответствуют двум подлинно различным периодическим решениям.
Двойные точки могут находиться только на одной из осей координат, так что мы найдем все эти точки, полагая
