Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Ух2 + 4ху — 2 у Ху cos у у У х2 + 4ху — 2 Уху cos у у
Мы видим, что когда отношение Ху/х2 постоянно, точка X, Y, Z описывает тор; что зтот тор сводится к оси Z, когда это отношение бесконечно, и к окружности Z=0, Х2+У*=1, когда это отношение равно нулю.
Производные dFy/dxy и dFy/dx2 остаются конечными в рассматриваемой области, так же как сама функция Fy, кроме случаев, когда Ху или х2 очень
?Fy =
—р— 1
2L'i
У\ — \
2 v'l — і
(г2—1—г|)
Двояко-асимптотические решения
327
мало; этого не будет для производных и йР1/с1уг, которые могут
обратиться в бесконечность при г2=0. Отсюда вытекает, что
_ АР' _ АР'
~ Ахх ’ ~ <**2
очень мало отличаются от (1Р0/йх1 и д,Рй!йхг. На стр. 179 мы видели, что при сделанном нами предположении (1Р0/йхг и, следовательно, гая не могут
обратиться в нуль, потому что постоянная С живых сил (постоянная С
п. 313 легко приводится к постоянной к п. 299) больше 3/2. Следовательно, мы будем иметь, если хг не очень малб,
пг > О,
ибо производная (1Р0/йх2 может обратиться в бесконечность только при ж2=0, откуда следует, что у2 всегда возрастает, за исключением случая очень малых значений хъ.
Пусть М есть такая точка X, У, Ъ, что у2=0; она будет находиться на полуплоскости
У=0, X >0.
Когда х±, х3, ух, у2 будут изменяться в соответствии с дифференциальными уравнениями, точка X, У, Я опишет некоторую траекторию; когда переменная у2, которая монотонно возрастает, достигнет значения 2 к, точка X, У, Z, придя в Мх, будет снова находиться на полуплоскости У=0, X >0.
Тогда точка Мх является последующей точки М, согласно определению п. 305. Так как у2 монотонно возрастает, то всякая точка полуплоскости имеет последующую и предшествующую; исключение существует только при очень малом хг, т. е. для точек полуплоскости, которые очень удалены от начала или очень близки к оси 2.
Мы будем иметь интегральный инвариант в смысле п. 305; попытаемся построить этот инвариант.
Уравнения, будучи каноническими, допускают интегральный инвариант
^ йх^х^у^у^
Положим г=х2/х1 и примем за новые переменные Т'1', г, уг, г/г; тогда инвариант примет вид
1х{АР'АгАу1Ау3 Г х\АР'АгАухАу3
<1Р’ 1 <1Р' | “|- х2П2
Х1 ~3х^~ + х2 ~Ах^
Из этого четырехкратного инварианта мы выведем (в силу существования интеграла Р' = С) тройной инвариант
Г х\АгАухАу3 ) ххпх х3п3 ‘
328
Новые методы небесной механики. III
В этом тройном инварианте х±, х2, пх=—dF'/dxх, га2=—dF'/dx2 предполагаются замененными функциями от z, ylt у2 при помощи уравнений
хг=ххг, F'=C.
Примем теперь за переменные X, У, Z и назовем Д якобиан от X, Y, Z относительно z, ylt у2\ тогда инвариант примет вид
г x\d.XdYdZ J (x^ni -{- х2п2) Д
Пусть
Д __ У 2 sin У!
V^z-f-4— 2 cos v'z 4- 4 — 2 cos ’
откуда
X = R cos у2, Y = R sin y2.
Положим еще
D = [{R — l)2 + Z2] [(R + if + Z2]; простые вычисления дают
д RD
~ 8 Vz(z -f 4) ’
Следовательно, наш инвариант запишется в виде
Г 8д2 '/z (z + 4)dXdYdZ J (xini х2пг) RD
Принципы п. 305 позволяют нам вывести из него следующий инвариант в смысле п. 305:
r8z^z(z+4)---------------?--------------dRdz
J D xini -f- x2n2
Здесь ra2 и R играют ту же роль, которую играли Q и р в анализе, проведенном в п. 305.
Количество под знаком интеграла существенно положительно, кроме случая очень малого х2, т. е. всюду, кроме точек полуплоскости, очень удаленных от начала или очень близких к оси Z.
393. Это обстоятельство (что точка не будет иметь последующей, если она слишком удалена от начала или слишком близка к оси Z) могло бы причинить некоторое затруднение, и может быть полезно преодолеть эту трудность каким-нибудь приемом.
Двояко-асимптотнческие решения
329-
Мы могли бы воспользоваться сначала замечанием п. 311 и заменить, полуплоскость криволинейной односвязной областью S. Вот как мы выбрали бы эту криволинейную область.
Если х2 очень малб, эксцентриситет очень мал и две планеты обращаются в противоположных направлениях; принципы п. 40 применимы и позволяют утверждать существование периодического решения первого сорта, которое будет, очевидно, удовлетворять следующим условиям: количества
\)х2 cos у2, \Jx2 sin у2, xlt cos ylt sin У!
являются периодическими функциями времени t; кроме того, эти функции зависят от р. и постоянной живых сил С; они разложимы по степеням р.; период Т также зависит от р и от С; з^гол у^ увеличивается ва 2тг, когда t увеличивается на период. Наконец, \jx2cosy2 и \Jx2siny2. делятся на р, так что при р = 0 мы имеем х2 = 0.
При нашем способе изображения это периодическое решение, которое я называю о, изображается замкнутой кривой К; так как х2 очень малб, когда р очень малб, то эта кривая очень мало отклоняется от оси Z; я хочу сказать, что она отклоняется от нее столь же мало, как окружность очень большого радиуса мало отклоняется от прямой. Всякая точка кривой К либо очень удалена от начала, либо очень близка к оси Z.
При этих условиях криволинейная область S имела бы периметром кривую К, она мало отклонялась бы от полуплоскости У = 0, Х^>0, за исключением непосредственной окрестности кривой К. Было бы легко при этом доопределить ее таким образом, чтобы всякая точка этой области имела последующую в ней самой. Для этого было бы достаточно, чтобы, если я назову (Т) какую-нибудь траекторию, т. е. одну из кривых, определенных при нашем способе изображения дифференциальными уравнениями, было бы достаточно, говорю я, чтобы поверхность S не касалась ни в одной точке ни одной из траекторий (Г).
