Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Пуанкаре А. -> "Избранные труды" -> 101

Избранные труды - Пуанкаре А.

Пуанкаре А. Избранные труды — Москва , 1972. — 359 c.
Скачать (прямая ссылка): izbrannyetrudi1972.djvu
Предыдущая << 1 .. 95 96 97 98 99 100 < 101 > 102 103 104 105 106 107 .. 111 >> Следующая

В самом деле, если \/{Х — I)2 + Я2 является бесконечно малой величиной первого порядка, числитель х\ \]г (г + 4) является бесконечно малой второго порядка, и то же самое будет верно относительно Б. Если \](Х — I)2 + является бесконечно большой величиной первого порядка, числитель остается конечным, тогда как Б является бесконечно большой величиной четвертого порядка. Все остальные величины остаются конечными.
Я назову /0 значение инварианта /, распространенного на всю полуплоскость.
Периодические решения и криволинейные траектории, которые их представляют, характеризуются тем, что эти кривые пересекают полуплоскость в точках, число последовательных последующих которых конечно; сошлемся, например, на п. 312 и, в частности, на рис. 7 (стр. 175).
На этом рисунке замкнутая траектория, которая представляет периодическое решение, пересекает полуплоскость в пяти точках: М0, М1г М2, М3, МА, являющихся последующими друг друга. Для краткости я назову подобную систему системой периодических точек, или периодической системой.
Каждому неустойчивому периодическому решению соответствуют две системы асимптотических решений; эти решения представлены траекториями (в смысле п. 312), и множество этих траекторий образует то, что мы назвали асимптотическими поверхностями. Пересечение асимптотической поверхности с полуплоскостью назовем асимптотической кривой. Так же, как мы видели на рис. 7, в каждой точке М< неустойчивой периодической системы сходятся четыре ветви асимптотических кривых (МА, МВ, МР, М()), которые попарно лежат на продолжении друг друга.
Имеется бесконечное множество асимптотических кривых, ибо имеется бесконечное множество неустойчивых периодических решений и, следовательно, систем неустойчивых периодических точек, даже если мы ограничимся решениями первого рода, определенными в пунктах 42 и 44.
Будем различать асимптотические кривые первого и второго семейства в зависимости от того, будет ли соответствующий характеристический показатель положительным или отрицательным; асимптотические кривые первого семейства характеризуются следующим свойством: га-я предшествующая какой-либо из их точек очень близка к периодической точке, если п рчень велико; для кривых второго семейства очень близкой к периодической точке будет п-я последующая, а не га-я предшествующая.
На рис. 7 кривые МА и МР принадлежат к первому семейству, а кривые МВ и М$ — ко второму.
Можно рассматривать эти асимптотические кривые как инвариантные кривые в смысле главы XXVII, если принять одно из двух следующих
334
Новые методы небесной механики. III
условий. Вернемся к рис. 7; мы видим кривую М„Л0, имеющую последовательные последующие МХАХ, МЯА3, МаА3, МХА41 М„Л6. Тогда, если мы условимся рассматривать пять кривых М^А,,, М1А1, МгА2, М3А3, МхАХг то это множество, очевидно, составит инвариантную кривую. Или же еще,, если мы условимся рассматривать последующие только кратные пяти и назвать р-й последующей ту, которую до сих пор называли 5р-й последующей, то ясно, что кривая М0АйАъ, рассматриваемая сама по себе, будет инвариантной кривой.
Две кривые одного и того же семейства не могут пересечься. В самом, деле, либо эти две кривые будут сходиться в одной и той же периодической точке, например в точке М0; тогда эти две кривые совпадут (поскольку через М0 проходит в качестве кривой первого семейства только МоА0. вместе с ее продолжением М0Р0), тогда вадача сводится к тому, чтобы узнать, может ли асимптотическая кривая иметь двойную точку; этот вопрос был решен отрицательным образом (п. 309, стр. 168).
Либо эти две кривые будут сходиться в двух периодических точках одной и той же периодической системы, например в двух точках М0 и Мх. Если бы две кривые, которыми будут тогда М<уА0 и МХАХ, имели общую точку <2, то 5р-я предшествующая точки (} должна была бы при очень большом р одновременно быть очень близкой к М0, потому что () принадлежит М0Л0, и очень близкой к Мх, потому что принадлежит МХАХ. Это опять абсурдно.
Либо, наконец, две кривые сходятся в двух точках, принадлежащих двум различным периодическим системам. Предположим, например, что две кривые принадлежат первому семейству и что @ — их точка пересечения.
п-я предшествующая точки (? при очень большом п должна одновременно быть очень близкой к одной из точек первой периодической системы и к одной из точек второй системы; это опять невозможно.
Напротив, нет оснований, чтобы две асимптотические кривые различных семейств не пересекались.
Пусть 5 и 5' — два неустойчивых периодических решения; Г и Г' — соответствующие замкнутые траектории, Р ж Р' — соответствующие периодические системы.
Пусть 2 и 2' — две асимптотические поверхности, проходящие соответственно через Г и Г' и пересекающие полуплоскость по двум асимптотическим кривым С и С', одна из которых первого, а другая — второго, семейства.
Что произойдет, если С и С' имеют общую точку ()? Две поверхности 2 и 2' пересекутся по траектории т, которая будет соответствовать некоторому достопримечательному решению °. Траектория т будет принадлежать двум асимптотическим поверхностям, так что при 1= — оо она приблизится к Г, а при 1= + оо она приблизится к Г'. При очень большом п га-я предшествующая точки (} будет очень близкой к одной из точек системы Р, а ее га-я последующая будет очень близкой к одной из точек системы Р'.
Предыдущая << 1 .. 95 96 97 98 99 100 < 101 > 102 103 104 105 106 107 .. 111 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed