Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Двояко-асимптотические решения
335-
Следовательно, решение а является двояко-асимптотическим.
Все эти следствия не имеют ничего абсурдного.
Но необходимо различать два случая. Либо два решения 5 и 5' совпадают, так что траектория т, сначала очень близкая к траектории Т=Т', значительно удаляется от нее, а затем снова приближается к этой же самой траектории Т=Т'. Тогда я смогу сказать, что решение а является гомо-клинным. Либо 5 отличается от а Т — от Г'; тогда я буду говорить, что а является гетероклинным.
Существование гомоклинных решений скоро будет доказано; существование гетероклинных решений остается сомнительным, по крайней мере, в случае задачи трех тел.
Гомоклинные решения
395. В конце п. 312 мы видели, что дуги A^Ab и В0В5 пересекаются. Но дуга A0Ah принадлежит кривой М0А0Л5, которая является асимптотической кривой первого семейства, а дуга В0В6 составляет часть кривой М3В0, принадлежащей второму семейству.
Рассуждение является общим, и мы должны заключить, что две асимптотические поверхности, которые проходят через одну и ту же замкнутую траекторию, всегда должны пересекаться вне этой траектории. Асимптотические кривые первого семейства, которые сходятся в точках периодической системы, всегда пересекают кривые второго семейства, которые сходятся в этих же самых точках.
Другими словами, на каждой асимптотической поверхности имеется, по крайней мере, одно гомоклинное двояко-асимптотическое решение; мы скоро увидим, что их имеется бесконечное множество; но мы сейчас же увидим, что их имеется, по меньшей мере, два.
Для этого вернемся к рисунку на стр. 175. Согласно рассуждениям пунктов 308 и 312, интегральный инвариант J, распространенный на четырехугольник А0ВаАьВъ, должен быть нулем; именно по этой причине этот криволинейный четырехугольник не может быть выпуклым, и противоположные стороны АйАъ и ВйВ5 должны пересечься. Пусть Q — одна из точек пересечения этих двух дуг. Заметим, что точка Ап была выбрана произвольно на асимптотической кривой МА0; если мы возьмем точку А0 в самой точке Q, то точка А0 будет находиться также на кривой MSB0 и совпадет с точкой В0. Если две точки А0 и В0 совпадут, то это же произойдет и с их пятыми последующими А6 и В6.
Следовательно, четырехугольник A0B^AbB3 сведется к фигуре, образованной двумя дугами кривой, имеющими одни и те же концы. Эта фигура не может быть выпуклой, поскольку интегральный инвариант, распространенный на четырехугольник, должен быть нулем. Следовательно, необходимо, чтобы две дуги А0А5 и В0В6 имели еще другие общие точки, кроме их концов.
336
Новые методы небесной механики. III
Таким образом, будут, по крайней мере, две различные точки перееече-ния (если не считать различными точку и какую-нибудь из ее последующих).
Следовательно, всегда будет, по меньшей мере, два двояко-асимптотических решения.
Итак, предположим, что точки А0 и В0 совпадают, и продолжим дуги AqAs и BqBs до их первой точки встречи в С0. Мы определили таким образом область, которая па этот раз будет выпуклой (с точки зрения Analysis situs) и будет ограниченной двумя дугами, составляющими часть соответственно двух дуг А„АЪ и ВаВь и имеющими одни и те же концы, а именно: А0=В0 и С0.
Пусть а0 — эта область, а ая — ее п-я последующая; очевидно, область ая, как и ад, будет выпуклой и ограниченной двумя дугами кривой, одпа из которых первого, а другая — второго семейства.
Интеграл J будет иметь одно и то же значение для а0 и ая. Пусть j — это значение. Так как значение J0 интегрального инварианта для всей полуплоскости конечно, то мы увидим, рассуждая, как в п. 291, что если
n>Pj,
то область я0 будет иметь общую часть, по крайней мере, с р из областей
а так как п можно взять сколь угодно большим, то я могу сформулировать следующий результат:
Среди областей ап имеется бесконечное множество таких, которые имеют общую часть с ад.
Как может случиться, что а0 имеет общую часть с ая?
Область а0 не может быть целиком внутри ая, поскольку интегральный инвариант имеет одно и то же значение для этих двух областей. По той же причине область ап не может быть целиком внутри ад. Эти две области не могут также совпасть; если бы, в самом деле, часть асимптотической кривой (например, первого семейства) совпала со своей п-й последующей, то это же произошло бы также с ее р-й предшествующей, сколь бы велико ни было р\ но если р велико, то эта р-я предшествующая очень близка к периодическим точкам, и достаточно принципов главы VII, чтобы показать, что такое совпадение не имеет места.
Следовательно, необходимо предположить, что периметр области я0 пересекает периметр ая; но периметр а0 состоит из дуги АдНйСд, принадлежащей кривой М0А0А5 первого семейства, и дуги
В0КйС0 = А0К0С0, принадлежащей кривой М3ВвВ0 второго семейства.
Двояко-асимптотические решепия
337
Аналогично, периметр ая будет состоять из дуги АпНпСп— n-й последующей дуги А0НаС0, которая будет принадлежать той же асимптотической кривой, что и А0Н0С0, т. е. кривой первого семейства, и дуги А КпСп — п-й последующей А0КпС0, которая будет принадлежать той же асимптотической кривой, что и А0К0С0, т. е. кривой второго семейства.
