Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Но здесь мы располагаем двумя параметрами 1 и р., которые могут быть заменены произвольными функциями от е; или, если угодно, мы располагаем бесконечным числом постоянных 12, . . . , ц2, ....
Мы можем тогда распорядиться этими постоянными таким образом, чтобы пг и п2 оставались равными 1 и in, каково бы ни было е.
366. Итак, для определения 5) мы имеем уравнение вида
ae{k + 2)i№ ce-(ft + 2) <a__Q(
282
Новые методы небесной механики. III
где а и с — комплексные сопряженные. Вообще говоря, а и с не равны нулю, иначе Э можно было бы определить только в следующем приближении.
Таким образом, уравнение даст нам для а ряд вещественных значений
а„ Vt-sf-2, Vf-?fj. ......
Ясно, что на самом деле мы не получим различных значений, если заменим а на а -)- 2к; однако, более того, я говорю, что два значения
а»+т?ї
не соответствуют двум действительно различным периодическим решениям.
В самом Деле, так как t не входит явно в наши уравнения, то, заменяя t на t -f- А, мы преобразуем любое периодическое решение в другое решение, которое не является существенно отличным от него.
Итак, заменим t на t -j- 2Ак, где А — целое.
Тогда т)0 заменится на т)0 -f- 2Ак, a v0 = t (nt + Э) — на
і (nt 2лАк + а).
Так как все наши функции периодичны, с периодом 2тт по Tj0 и iuQ, то мы ничего не изменим в решении, вычитая соответственно ИЗ ТГ]0 и uji два кратных 2к; например, 2Атс и 2А'тс. Тогда т;0 снова станет і\й, а и0 изменится на
/ (nt -f- 2nhn + а — 2h'n).
Другими словами, мы заменили а на
Э + 2п (nh — А').
Но мы можем всегда выбрать целые А и А' таким образом, чтобы было
1
nh А' :
'A-f 2*
Таким образом, мы не находим существенно нового решения, заменяя Э на а+г^-2 ? что и требовалось доказать.
Следовательно, мы имеем только два действительно различных решения, соответствующие двум значениям Э:
а„. а„ ' "
о1
Построение решений второго рода
283
Нам остается определить постоянные и е2ц„; для этого воспользуемся уравнениями, которые связывают эти две постоянные с X и и.. В вопросах, которые обычно приходится рассматривать, имеется только один-единственный параметр, и мы ввели здесь два только для удобства изложения. Таким образом, следует предположить, что X и р. связаны соотношением, например X = р.
Разложения X и р по степеням е2?0 и е \!ий, вообще говоря, начинаются с членов с е2?0 и с еги0 (если оставить в стороне случай, когда знаменатель п равен 3).
Если мы, таким образом, предположим р = X, то получим отсюда е2?0
и е^и0, разложенные по степеням \/Х; тогда одно из двух — либо коэффициенты разложения по степеням \/Х будут вещественпыми, либо, напротив, вещественными будут коэффициенты разложения по степеням \/—X.
В первом случае задача будет допускать два вещественных решения при X 0 и не допускать ни одного при X 0; во втором случае будет иметь место обратное.
Чтобы узнать, какой из этих двух случаев осуществляется, рассмотрим уравнение, связывающее р с и0, ограничиваясь членами с е2, получим
х=“=-?[?]= ‘21>
Я замечаю прежде всего, что [(1В2/йи0] и [й02/й?о1 не зависят не только от t, но и от Э; исключение имеет место только для
к-\- 2 = 2, 3 или 4.
Ибо при /с-|- 2]>4 члены вида
+?3) ь >
которые могут войти в правую часть одного из уравнений (21), могут быть независимыми от Г, только если
9 = 0,
поскольку | д | не может превзойти 4 И должно быть целым.
Таким образом, правые части уравнений (21) являются линейными и однородными функциями от ?0 и и0, а коэффициенты этих линейных функций являются абсолютными постоянными, не зависящими от Э.
Но и0 должно быть положительным, иначе \/и0 был бы мнимым. Уравнения (21) вместе с неравенством и0 0 определят знак X.
Я замечу только, что этот знак не зависит от величины Э, поскольку уравнения (21) не зависят от него. Но мы видели, что уравнение, определяющее Э, допускает два действительно различных решения
284
Новые методы небесной механики. III
Каждому из них соответствует периодическое решение, которое будет вещественным, если знак X выбран надлежащим образом в соответствии с предыдущим. Выбор этого знака не зависит от Э; эти два решения будут оба вещественными при X ]> О и оба мнимыми при X 0, или яге будет иметь место обратное.
На первый взгляд кажется, что каждому решению уравнения относительно Э соответствуют два периодических решения, поскольку из соотношений между X, р., е2|0 и s \Ju0 получаются две системы значений для неизвестных е2?0 и е \Jii0? Однако это отнюдь не так. В самом деле, мы можем, не ограничивая общности, предположить, что \'и,0 положителен; ибо мы ничего не меняем в наших формулах, заменяя \Ju0 на —\'и0 и Э на a -f- гг.
Но из наших двух систем значений имеется только одна, для которой \1и0 будет положительным.
Таким образом:
имеются два вещественных периодических решения второго рода при X > 0 (или при X < 0);
нет ни одного решения второго рода при X > 0 (или при X 0).
Примем снова обозначения главы XXVIII и, в частности, п. 331.
C/j сводится к р2 и соответствует члену с х1у1, который фигурирует в Fq.
U0 сводится к постоянному множителю, умноженному на р4, соответствуя членам, происшедшим от [d@2/du0] и [d02/d?o].
