Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Пуанкаре А. -> "Избранные труды" -> 85

Избранные труды - Пуанкаре А.

Пуанкаре А. Избранные труды — Москва , 1972. — 359 c.
Скачать (прямая ссылка): izbrannyetrudi1972.djvu
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 111 >> Следующая

Н->Н-о-
Это заключение сохраняется, таким образом, опять в общем случае, лишь бы [10 было достаточно малым.
Каково же значение р0, для которого этот вывод потеряет силу?
Примем снова обозначения п. 361, которые являются обозначениями п. 275; показатель а, который там фигурирует, разложим по степеням произведения АА'.
Он приводится к характеристическому показателю при АА'=Q.
Так как мы предположили, что решение первого рода устойчиво, а а — мнимое, то А и А' — комплексные сопряженные, и произведение ААЛ положительно.
При малых значениях р показатель а убывает, когда А А' возрастает; в противном случае решения второго рода существовали бы только при f* < Ро-
Таким образом, искомое значение р0 является тем, для которого а. перестает убывать, когда А А' возрастает; следовательно, это то значение, которое обращает в нуль производную от ос по АА'.
19*
Глава XXXI СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ВТОРОГО РОДА
Решения второго рода и принцип наименьшего действия
371. Я не могу обойти молчанием связи между теорией решений второго рода и принципом наименьшего действия; и даже именно из-за этих связей я написал главу XXIX. Но для того чтобы лучше их пояснить, необходимы еще некоторые предварительные сведения.
Предположим две степени свободы; пусть ^ В I, — две переменные первого ряда, которые можно рассматривать как координаты точки на плоскости; плоские кривые, удовлетворяющие нашим дифференциальным уравнениям, составят то, что мы назвали траекториями.
Пусть М — произвольная точка плоскости. Рассмотрим множество траекторий, исходящих из точки М, и пусть Е — их огибающая. Пусть Е—и-й кинетический фокус М на траектории (Г); эта траектория коснется огибающей Е в точке Е согласно самому определению кинетических фокусов; я напоминаю, что и-м фокусом точки М, или ее фокусом порядка п, является и-я точка пересечения (Т) с бесконечно близкой траекторией, проходящей через М. Но условия этого касания могут меняться. Может случиться, что Е не есть особая точка кривой Е и что касание будет первого порядка; это самый общий случай»
Пусть
Х1 = ? (хг) + Ф (*«)
— уравнения траектории (Г) и очень близкой траектории (Т'), исходящей из точки М.
Пусть и г2 — координаты точки М, иг и иъ — координаты Е. Так как (Т) проходит через М и Е, а (Г') — через М, то мы получим
21 = ? (2в). Ц1 = ? (“я). Ф (2а) = 0.
Так как траектория (Т') очень близка к (Т), то функция ф будет очень малой; я могу обозначить через а. угол, под которым две траектории пересекаются в точке М; этот угол и определит траекторию (Т'); тогда функция ф будет зависеть от угла а; она будет очень малой, если, как
Свойства решений второго рода
293
мы предполагаем, этот угол а сам мал, и она будет обращаться в нуль вместе с а.
Значение ф' (г2) (если обозначить через ф' производную от ф) будет того же знака, что и а.
Что же касается значения ф' (и2) [если мы предположим а очень малым и если система координат была определена таким образом, чтобы функция <р (х2) была однозначной, что всегда возможно], то оно того же знака, что и а, если Е — фокус четного порядка, и противоположного знака, если Е — фокус нечетного порядка.
Случай, интересующий нас, характеризуется тем, что ф (и2) того же порядка, что а2, и всегда одного и того же знака.
Предположим, например, что ф (ы3) положительно.
Тогда если знак а таков, что ф' (и2) — положительно, то траектория (Т') пересечет (Г) в точке близкой к точке Е и менее удаленной от М, чем точка Е (в предположении, что и2 ]> г2).
В этом случае (Г') касается Е до Е', тогда как (Г) касается Е после Е'; согласно хорошо известному рассуждению, действие больше (по крайней мере, в абсолютном движении), когда мы идем из М в Е', пробегая (Т'), чем когда мы идем из М в Е', следуя вдоль (Т).
Если знак а таков, что ф' (и2) отрицательно, то (Т') пересекает (Т) в точке Е', более удаленной от М, чем Е\ тогда (Т’) касается Е после Е', а (Т) касается Е до Е'; когда мы идем из М в действие больше вдоль (Т), чем вдоль (Т').
Результаты были бы противоположными, если бы ф (и2) было отрицательным; однако во всех случаях среди траекторий (Т'), близких к (Т), имеются такие, которые пересекают (Т) вблизи Е по одну сторону от Е, и такие, которые пересекают (Г) вблизи Е по другую сторону от Е.
В этом случае мы будем говорить, что Е — обыкновенный фокус.
Не может случиться так, чтобы точка Е была обыкновенной точкой Ел а касание имело порядок выше первого.
Разложим ф (х2) по степеням а; пусть
ф (х2) = аф: (х2) + а2ф2 (х2) + . . .
Условие для касания высшего порядка имеет вид
(и2) = о.
Но мы имеем уже
Ф1 (ц2) = 0,
и функция фх (х2) удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению второго порядка, коэффициенты которого являются конечными и заданными функциями от х2, причем коэффициент при второй производной сводится к единице.
294
Новые методы небесной механики. III
Если бы при ж2=п2 интеграл фг (хг) обращался в нуль так же, как и его первая производная, то он был бы тождественным нулем, что абсурдно.
Таким образом, касания высшего порядка не будет никогда.
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 111 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed