Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Пуанкаре А. -> "Избранные труды" -> 80

Избранные труды - Пуанкаре А.

Пуанкаре А. Избранные труды — Москва , 1972. — 359 c.
Скачать (прямая ссылка): izbrannyetrudi1972.djvu
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 111 >> Следующая

т1. Гг............
®. ъ. Гг Г*-1-
(14)
Посмотрим, каким образом. Предположим, что мы рассматриваем разложение
/' = Ф0 + еФ1 + в>Ф>+..., (15)
и что в этом разложении мы заменяем величины ?, т;, ?' и у их значениями; различные члены разложения будут зависеть тогда от постоянных (14). В этом разложении (15) обратим в нуль все постоянные у, сохраняя только Э; мы получим таким образом новое разложение
Ф; + еФ; + в«Ф;+ ....
(16)
18 А. Пуанкаре, т. II
274
Новые методы небесной механики. III
Заменим теперь в разложении (16) постоянную а разложением
а + еа1 + е2а2 + ..
где Sj, а2, ... —новые постоянные. Канедый нз членов разложения (16) можно в свою очередь разложить по степеням в; располагая снова по степеням е, мы получаем новое разложение
ф; + «ф;+в«ф;+.... о 7)
Это разложение должно быть тождественным с разложением (15) при условии замены постоянных afc надлежащим образом выбранными функциями постоянных Yk-
Легко видеть, что Ф”к зависит только от
а, ujj, ..., a?_j
и что Ф* зависит только от
Т1» • ? ? > Tt-i1
Отсюда мы заключаем, что аА зависит только от
7i» Тг> • ? ч T?>
а Yk — от
Легко видеть, что
= . .а 1к,
где А — числовой коэффициент и ?)Ф'т — производная от Ф'(1 ПО а,- порядок этой производной равен
К1 + Я2 + ? ? ? + ак
и при этом мы имеем
к = т + Я] -f- 2я2 как.
Так как т равно по крайней мере 1, поскольку Ф0 не зависит от а, то мы видим сначала, что ак равно нулю, что мы, впрочем, уже знали.
Рассмотрим любой член, в котором ак, ак_г, . .., «л+1 равны нулю, но лн не нуль; мы должны будем иметь
т^к — h.
Если знаменатель п больше, чем к — h 2, то среднее значение ОФт будет равно нулю; это означает, что те члены в Ф?, которые зависят от аА, имеют нулевое среднее значение.
Мы можем отсюда получить один важный результат, касающийся среднего значения Фк, и, следовательно, среднего значения 0Д.:
Построение решений второго рода
275
Если знаменатель п равен к + 2, [0Л] будет зависеть только от Э.
Если знаменатель п равен &+1, [0*] будет зависеть от а и аг
Если знаменатель п равен к, [0*] будет зависеть от а, а: и Э2.
Если знаменатель п равен к — 1, [0Л] будет зависеть от Э, а2, Э2
При этом то, что я сказал только что о величине [0*1, применимо
Итак, если знаменатель п равен А:+ 2, соотношение (13), в которое входит только а, определит а.
Если знаменатель равен &+!> соотношение (13) будет содержать а и а1; однако Э уже предварительно было определено из соотношения
Соотношение (13) определит, таким образом, Э2 и, следовательно, Если знаменатель равен к, соотношение (13) будет содержать а, Э1, Э2; но Э и а, были уже предварительно определены соотношениями того же вида, что и (13). Таким образом, (13) определит а2 и, следовательно, Та* и т- Д-
364. В решении, к которому мы пришли, фигурируют еще следующие произвольные постоянные:
Что касается параметров X и р., то они заданы своими разложениями но возрастающим степеням е, разложениями, коэффициенты которых мы последовательно вычислили. Эти коэффициенты и р.* зависят от двух постоянных 50 и и0; эти коэффициенты были вычислены при помощи
Величины 0*, Й0АДЙо и и0с1&к/с1и0 — целые полиномы относительно
Анализ
уравнений
Пусть
где Р — целый полином относительно
^1> ^2» • • ? . ^1. ^2> ? • • , 1111 ^2. ? ? • > коэффициенты которого периодические функции Т]0.
(18)
18*
276
Новые методы небесной механики. III
Тогда мы имеем
Заменим затем количества (18) их разложениями, и нусть
где В — периодическая функция от ? с периодом 2п, откуда
= 2 == Ц Л,
0 ЙЕ0 3 ^аа~2л 2 Л-
Мы получим
<?[?]? -®].
сохраняя в этих разложениях члены, не зависящие от ?. Но различные члены Н содержат множителями показательные функции
е»>< х е*(я/+а) +
Чтобы этот член не зависел от ?, необходимо, чтобы было
р + И (&] + *! — й2 — А*) = о,
что показывает, что &л+А1 — 62— должно делиться на знаменатель я. Итак,
&1 + А-! + Ь2 Ч- А2 > — Ь2 — А2> знаменателя га ^ 2,
что означает, что Н делится на п0, поскольку и0 фигурирует в Я с показателем 72 (б: -)- Л1 -7 б2 + а2).
Исключение имело бы место, только если
Ъ\ + = \ ?+- А2>
но тогда мы имели бы либо
Ь-1 ~Ь ^1 -г^ 1,
^1 + А1 + Ь2 + 2,
так что Н опять делилось бы на и0; либо
= 62 = й2 = О,
Построение решений второго рода
277
откуда
^1+^2 ___ П
2
но тогда соответствующий член не входил бы в ио[^р^-
Аналогично, Я всегда будет делиться на ?0, за исключением случая
[^0 п
^1.
Итак, в итоге
Ь*“о-Г
и, следовательно, и рЛ являются целыми полиномами относительно ?0 и \/и0• Таким образом, X и р. представляют собой ряды, расположенные по степеням
е, Е0, \/Ц0’
но эти три постоянные входят в них не произвольным образом.
Вспомним, каким искусственным приемом мы ввели вспомогательную постоянную е, которая служила только упрощению изложения; а для этого примем снова на мгновение обозначения п. 274 и стр. 89; мы положили
х1 = ех[, у1 = еу[, хъ — е2х'г, у 2 — ^у'.,.
Таким образом, наши уравнения не перестают удовлетворяться, когда мы заменяем
е> У\) З'з
на
ей-1, х[к, у[к, х’2к2,
а параметры X и р сохраняют свои первоначальные значения.
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 111 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed