Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Затем мы отбросили ставшие ненужными штрихи и разложили х[, !/[> х>2’ Уи> которые мы обозначали с тех пор буквами х1У уг, х2, у2, по степеням е.
Так мы нашли разложения
Е0 + И1 + е«Е2+ ....
•% + ет,1 + е,т]2+ ...,
&; + ве; + в^+...,
Ъ + +-----
Уравнения будут также удовлетворены, если мы заменим е на е/к и умножим четыре разложения (19) соответственно на
к2, 1, к, к
278
Новые методы небесной механики. III
или, что то же, если мы заменим
^р’ V V
на
^г~р, -ЦрЬ-р, 1'рк1~р, т\'к^.
После этой замены мы должны получить разложения, тождественные разложениям (19), но с отличающимися значениями постоянных Е0 и и0. Но мы видим, что эта замена меняет и иа на Д:2Е0 и к*и0.
Итак,
*1 рг ^р> "Чр
меняются на
^~р, Ь'рк1~р, т\'рк'~р,
когда 50 и и0 меняются на к\ и кги0.
Другими словами, если умножить четыре разложения (19) соответственно на е2, 1, е, е, то полученные таким образом четыре произведения будут разложимы по степеням
е2Е„, в \!и0,
и то же самое должно быть для X и р, которые не должны были измениться при замене е, ?0, и0 на е/к, кг ?0, к2и0. _
Итак, предположим, что X и р выражаются в функции е2?0 и е\/ц0; ясно, что мы будем иметь таким образом соотношения, из которых сможем найти обратные функции еЧ0 и е \/и0 от X и р.
365. Пусть А+2 — знаменатель п; постоянная а определится тогда уравнением
Исключение имеет место только в случае 2=2, когда Э определено уравнением
Выражение д.%к/д,’% является целым полиномом степени к-\-2 относительно
е±<(Я/+а»>
Каждый из этих членов содержит, таким образом, множители вида
е±<г(**+ ®).
Построение решений второго рода
279
В среднем значении [^0л/^т)о] останутся только члены, не зависящие от ?, и мы видели, что <7 должно делиться на знаменатель п, т. е. на й+2. Следовательно, наше выражение имеет следующий вид:
ае»В(* + 2) се-<®(Л + 2)1
Теперь я покажу, что слагаемое Ь равно нулю.
Для этого я воспользуюсь следующим искусственным приемом: вычислим
?31 Ей ?
По- Иг. ? ???. П»-!-
|ГТТ О Ч 5;, ? 1 ? ? » 5*-1»
?По» щ, ? ? ?» пи
при помощи процесса, изложенного выше; однако при вычислении с*, вместо того чтобы приписать Э значение, обращающее в нуль [<30к/<3^], я сохраню произвольное значение Э. Тогда уравнение
_ *вк Иг d?r|0
позволит мне все же вычислить только вместо того чтобы быть пе-
риодической функцией ?, величина Ък будет периодической функцией ?, к которой прибавлен непериодический член
Но у нас есть другое средство для вычисления
?01 ^1! ? ? ? I
?Чо. Ип ? ? ? > "Чк-г’
• ? • I •••» •••
и, следовательно, этого члена 3 [<30к/й^]; а именно, повторить вычисления п. 274.
Мы определим 50, . . . при помощи уравнений (2) на стр. 93.
Вычисление 50, . . . , 5к-1 выполняется без всяких затруднений;
но у нас возникнут затруднения при вычислении ?* из уравнения
"*- + 2 Л "8=ф + С,.
В самом деле, правая часть представляет собой совокупность членов вида
Ае
280
Новые методы небесной механики. III
где тх и тг — целые; интегрирование выполняется беспрепятственно, лишь бы не было
1т1-{-2т2В=0.
Но так как 2В равно т, где п — рациональное число, знаменатель которого равен к-\-2, то правая часть нашего уравнения будет содержать члены, удовлетворяющие этому условию. Отсюда вытекает, что величина Бк не будет периодической функцией от у2 и у, а может быть приравнена
Тк+Угик,
где Тк и ик периодичны.
Определив таким образом функцию 5 и продвинув приближения до количеств порядка е*+1, можно применить процедуру п. 275 и определить таким образом хх, уг, х2, у2.
Эти два способа вычислений должны привести к одному и тому же результату. Итак, пусть
2=^0 + 4-
Составим уравнения (см. стр. 94)
Х2~~~^Г’ + 1 ~ ’
, о, _ _ йС ^ /1С
П2*-Гт2 — Щ, П1— Аай . П2— ^
и найдем из них х2 в функции <; найденное таким образом значение х2 должно быть равно
^0 + Е-1 “Ь ? ? ? +
с точностью до величин порядка е*+1.
Нас интересует вычисление %к и, в частности, вычисление векового члена
Этот вековой член может произойти только от векового члена 5^, который равен у2ик.
Таким образом, с точностью до количеств порядка е*+1 (приравнивая вековые члены в уравнении х2 — йИ1йу2) мы имеем
Построение решений второго рода
281
В первом приближении, т. е. с точностью до количеств порядка S, мы имеем (см. стр. 95)
х2 == ао ^01 и г= в0 — uQ, nj -f- у2 = Tj0 = t,
rtj = 1, n2 = in, n2t -f Э2 = о = у0 = t (nt -f- Э).
Таким образом, мы совершим ошибку порядка ei+1, если заменим в правой части (20)
“о- Ро» Уг> v
на
^0* “о- С ^ (jit ®).
Следовательно, мы получим [«Шй/«2т/в], делая эту же самую подстановку в dUkldy2. Ho Uк содержит только члены с
im1y2 -f- m2v,
где
im1 -f- 2т2В = 0.
Мы имеем, таким образом,
dU/c dUk
dy2 dv '
Ho Uk — периодическая функция от y2 и iv; следовательно, не
содержит члена, не зависящего от v. Таким образом, [<2в*/<2т)0] не содержит члена, не зависящего от v, что и требовалось доказать.
Чтобы облегчить понимание предыдущих вычислений, я сделаю еще одно замечание. Средние движения и1 и п2 заданы равенствами
dC dC
"i~—~d^' n2~— dp0 •
Вообще говоря, они зависят от s и приводятся к 1 и i/г только при е=0.
