Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Каждому значению to, соизмеримому с 2 к, соответствует периодическое решение; однако нужно различать два случая.
Если |С| ]> |р|, то у1 и у2 в течение периода увеличиваются на кратное 2 к. Соответствующие периодические решения являются решениями первого рода.
Если |С| <[ |р|, то у2 в течение периода возрастает на кратное 2к, а г/* сохраняет свое первоначальное значение. Соответствующие решения являются решениями второго рода.
К этому перечислению следует добавить два замечательных периодических решения, которые должны рассматриваться как решения первого рода. Пусть р > 0, эти решения будут
Я сказал, что эти последние решения следует рассматривать как решения первого рода и что решения, соответствующие |С[ < [р|, должны рассматриваться как решения второго рода.
В самом деле, дадим С значение, очень мало превосходящее —р, пусть
где е — очень мало; у1 не сможет сильно отклониться от к; мы будем иметь приближенно
откуда вытекает такое заключение: пусть а—любое число, соизмеримое с 2гс; существует ряд таких периодических решений, что | С К | р | и что
-f arc cos — ,
IX *
если \С\ < |р|.
х2 — х2, У2 — t ~{— //<>, С — р, Xj — 0, уj — О,
Х2 У'2 - ^ ~h Ус’ ^ ~ Р, Х1 ;= 0, Уу =? к.
с = (в-1)р,
и период со будет близок к
а; если \/р очень близок к я:Д/2а, то С будет очень близко к —р,
и при
Построение решений второго рода
289
эти периодические решения сольются со вторым решением (4), которое является решением первого рода. Здесь мы узнаем вновь характеристическое свойство решений второго рода.
Мы видим, что второе решение (4), т. е. то из двух решений (4), которое устойчиво, порождает решения второго рода тем способом, который был объяснен в главе XXVIII.
Если другие решения первого рода, такие, что | С | ]> | р |, не порождают решений второго рода, то это зависит от очень частного вида уравнений (1). (Для этих решений характеристические показатели всегда равны нулю.)
Рассмотрим сначала такие решения первого рода, что [ С |> | р |.
Положим С = С0-)~ в; период ш, т. е. интеграл (3), взятый между О и 2тс, будет разложим по степеням е и р, а свободный член сведется к
7^
Дадим \]Сй любое рациональное значение; мы будем получать периодическое решение всякий раз, когда будем иметь
тс
т~Ж’
Уравнение удовлетворяется при е = р = 0, и из этого уравнения можно будет найти е и, следовательно, С в виде ряда, расположенного по степеням р. Уравнения (2) дадут нам тогда х1 и yv разложимые по степеням р. Это — разложения главы III.
Перейдем к таким решениям второго рода, что | С[| <( | р |.
Положим С = ер; мы получим
= —
Vp J 2 Ve — cos y1
Мы видим, что ш\/р является функцией только от е; с другой стороны,
7^=\/е— cos yv (A — t)s/ р = Г..- dyi VP J 2VE — COS!/!
что показывает нам, что sin ylt cosy1 и xJ\Jр являются функциями от {А—t) \j\x. и е, двоякопериодическими относительно (А — Значит,
это также функции от (А — t) \jр и т у/р, поскольку е — функция от со ^р; если, следовательно, мы дадим со постоянное значение, соизмеримое с 2тс, то получим ряд периодических решений; для этих решений
cos yv sin ух и ~
ЛР
19 А. Пуанкаре, т. II
290
Новые методы небесной механики. III
могут быть разложены в ряды Фурье по синусам и косинусам кратных 2пг/Г, где Т — наименьшее общее кратное ш и 2тт. Любой коэффициент разложения является функцией р; эту функцию я и хочу изучить.
Для этого необходимо сначала рассмотреть соотношение между е И Ш \1[1.
Мы можем заставить е изменяться от —1 до -}-1. При е = —1 мы имеем
При е = —}—1 мы имеем ш;/р=со; следовательно, когда е изменяется от —1 до -)-1, <о\/[л возрастает от к/\]2 до -)-оо.
Следовательно, периодическое решение, соответствующее заданному значению со, соизмеримому с 2к, существует, только если
Таким образом, коэффициенты разложения Фурье являются функциями ОТ [А, которые вещественны при
и комплексны при
^ <
у/2 •
Очевидно, что это же рассуждение привело бы к тоМу же результату, если бы вместо
F = хг -f х\ + р cos ух
мы имели
fWo+M*1!].
где F0 зависит только от хх и х2, [Ej] — только от xv х2 и yv Здесь решения ВТОРОГО рОДа ОПЯТЬ были бы вещественными при р>р„.
370. В общем случае величина Q, о которой шла речь в конце п. 368
и знак которой мы хотим определить, очевидно, зависит от р., и если р достаточно мало, то первый член разложения и даст ее знак.
Определим функцию S по методу Болина; пусть
S = “Ь \/р + P'S’g + «•
Если р достаточно мало, то, очевидно, наиболее важными будут два
первых члена
So + \Мт.
Построение решений второго рода
29!
Но если положить
F=F0 + ^1 + ^/'1 + ...,
то, как мы видели в главе XIX, S0 и не зависят ни от F2, ни от Fx—[/’1], а только от F0 и от [FJ, где через [FJ обозначено среднее значение
Возьмем снова величину Q п. 368; первый член ее разложения будет зависеть только от S0 и Sx, и, следовательно, от F0 и [Fj]. Таким образом, будет иметь место то же самое, как если бы мы предположили, что
JWo + li^J,
следовательно, то же, что и в предыдущем пункте.
Но в предыдущем пункте мы нашли, что решения второго рода существуют только при
