Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Пуанкаре А. -> "Избранные труды" -> 87

Избранные труды - Пуанкаре А.

Пуанкаре А. Избранные труды — Москва , 1972. — 359 c.
Скачать (прямая ссылка): izbrannyetrudi1972.djvu
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 111 >> Следующая

При этих условиях, так как я равно я0 с точностью до величин второго порядка и а0+а! {АА') с точностью до величин четвертого порядка, мы можем написать, пренебрегая везде величинами четвертого порядка относительно А и А':
ф (се) = Лаеш^АА,) + А'а’е^°+м4,) + / (Ае°°ш, А>е*°ш) или же еще
ф (щ) = Аеа°ша -ф- А'е~*"ша' -ф- я1а)АА' (Ае^ша — А'е~^ша') + / (Ле“»ш, А'е^"-).
Когда со увеличивается на (2А-)-4)7с, коэффициенты /, а также о и о' не изменяются. То же имеет место и для е“°ш, поскольку знаменатель а0Н=п равен А+2; таким образом, то же самое относится и к
Ле“°ш0, А'е-^а', f(Aea^>ш, А'е-*°ш).
Таким образом, наконец, получаем
ф (со 2/стг -)- 4тг) — ф (со) = (2к -(- 2) к^АА1 (Ле““шо — А'ег^а1).
Но ф (ш0) есть нуль; таким образом, величина, знак которой мы должны определить, есть
(2к 2) п^АА1 (Ле^Оц — Л,е-“»ш°о').
Я обозначаю через о0 и а' значения о и о' при ш=ш0.
Я замечаю сначала, что эта величина третьего порядка, что согласно предыдущему пункту показывает нам, что фокусы, вообще говоря, будут фокусами противошерстными или пошерстными. Теперь я утверждаю, что эта величина всегда имеет один и тот же знак и что ее коэффициент не может обращаться в нуль.
В самом деле, две постоянные А и А' связаны соотношением
ф К) = о,
которое можно написать, поскольку А и А' — бесконечно малые величины, в виде
Ле^“»о0 + А'е-’май = 0. (1)
Свойства решений второго рода
297
С другой стороны, ад — чисто мнимое, о0 и о' — комплексные сопряженные; то же самое относится к А и А'.
Таким образом, произведение А А' существенно положительно и не может обращаться в нуль, ибо А и А' не могут быть нулями одновременно.
С другой стороны, мы не можем иметь
Ае**ш°0д — = 0, (2)
ибо из уравнений (1) и (2) следовало бы, что
Но эти уравнения невозможны; они означали бы, что все траектории, очень близкие к (Г), будут проходить через точку М, что, очевидно, неверно.
Величина ф (ш0—{-2А:тг-^-4тт;) имеет, таким образом, всегда один и тот же знак; фокусы являются, следовательно, либо все противошерстными фокусами, либо все пошерстными фокусами; все зависит от знака о^.
373. Мы были вынуждены оставить в стороне случай, когда есть нуль, исключительный случай, когда все фокусы будут особыми; также случай, когда к-\-2 равно 2, 3 или 4; вот почему.
Мы видели, что при вычислениях главы VII появляются малые делители
т V—1 +2«?—
(см. п. 104).
Если один из этих делителей обращается в нуль, вычисление прерывается, и появляются вековые члены.
Но мы легко устанавливаем, что если /с+2 равно 2, 3 или 4, то вычисления будут приостановлены таким же образом при нахождении членов трех первых порядков, которые мы должны были припимать во внимание. Если же, напротив, к-\-2 ]> 4, то мы остановимся только при вычислении членов высшего порядка, которые не рассматривались в предшествующих рассуждениях.
374. Предположим, например, что все фокусы являются противошерст ными фокусами; пусть М — любая точка (Т); эта точка будет своим 2р-м фокусом. Пусть М' — точка, расположенная немного за точкой М в направлении обхода (Т) и траекторий, близких к (Т). Я могу провести траекторию (Т'), исходящую из точки М, которая будет очень мало отклоняться от (Г), совершит вокруг (Г) к-\-2 оборота и в конечном счете примкнет к точке М' и будет иметь 2р-\-\ точек пересечения с (Г), если считать точки пересечения М и М'.
В самом деле, так как фокус является противошерстным фокусом, то все траектории (Т'), близкие к (Т), пересекут (Т) за фокусом. Следовательно, мы сможем провести траекторию (Г'), которая удовлетворяет условиям,
298
Новые методы небесной механики. III
которые я только что сформулировал, лишь бы расстояние ММ' было меньше 8. Ясно, что верхний предел, который не должно превосходить расстояние ММ', зависит от положения М на (Г); но оно никогда не обращается в нуль, поскольку нет особого фокуса.
Мне достаточно тогда приравнять 8 наименьшему значению, которое может принять этот верхний предел, и я могу считать 8 постоянной.
Итак, если расстояние ММ' меньше 8, мы можем провести траекторию (Т’), удовлетворяющую нашим условиям; мы можем даже провести их две — одну, пересекающую (Т) в М под положительным углом, другую — под отрицательным углом.
При этих условиях предположим, что наши канонические дифференциальные уравнения зависят от параметра X; при Х=0 замкнутая траектория (Т) имеет характеристический показатель а0=т.
Предположим, что при X > 0 характеристический показатель, деленный на г, больше и, и что при X <[ О он, наоборот, меньше п.
Тогда при X 0 точка М уже не будет являться своим 2р-м фокусом; ее 2р-й фокус будет расположен перед М при X > 0 и за М при X < 0. Пусть Р — этот фокус. Расстояние МР, естественно, будет зависеть от положения М на (Г); я называю е наибольшее значение этого расстояния; ясно, что е будет непрерывной функцией от X, обращающейся в нуль вместе с X; заметим, что при X =^= 0, согласно принципам п. 347, фокус Р всегда лежит за точкой М или всегда перед ней в зависимости от значения характеристического показателя, и расстояние МР никогда не может обратиться в нуль.
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 111 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed