Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Но может случиться, что F есть точка возврата кривой Е, острие которой либо направлено в сторону М, так что подвижная точка, двигаясь из М в F, встречает ее с острия, либо обращено в противоположную сторону, так что подвижная точка встречает ее сзади острия. В первом случае я буду говорить, что F — противошерстный фокус (en pointe), а во втором случае — что это пошерстный фокус (en talon).
В одном и другом случаях значение ф (иъ) — порядка а3; в случае противошерстного фокуса оно имеет знак а, если F — фокус нечетного порядка, и знак, противоположный знаку а, если F — фокус четного порядка; в случае пошерстного фокуса будет иметь место обратное.
В случае противошерстного фокуса все траектории (Г')пересекают (Г) в точке F', близкой к F и лежащей за F; действие при переходе от М к F'больше вдоль (Г), чем вдоль (Т').
В случае пошерстного фокуса все траектории (Т') пересекают (Т) в точке F', близкой к F и расположенной перед F; действие при обходе от М к F' больше вдоль (Т'), чем вдоль (Т).
Пусть теперь F' — точка (Г), достаточно близкая к F. В случае противошерстного фокуса я могу соединить М с F' траекторией (Г'), если F' лежит за F; в случае пошерстного фокуса я могу соединить М с F', если F' лежит перед F.
Наконец, могло бы случиться, что F — особая точка Е более сложного характера, чем обыкновенная точка возврата; тогда я сказал бы, что это особый фокус.
Я аамечу только, что от противошерстного фокуса к ношерстному фокусу можно перейти только через особый фокус, ибо в момент перехода значение ф (hJ должно быть порядка а4.
372. Рассмотрим теперь какое-нибудь периодическое решение; оно будет соответствовать замкнутой траектории (Г). Пусть а. — характеристический показатель, а Т — период. В главе XXIX мы видели, как мы подходим к определению последовательных кинетических фокусов (п. 347).
Предположим, что а равно 2imz/T, где п — рациональное число, числитель которого есть р. В этом случае применение правила п. 347 показывает, что каждая точка (Т) совпадает со своим 2р-м фокусом.
В самом деле, если принять, как в п. 347, такую единицу времени, чтобы период Т был равен 2тс, то получится a=in. Если обозначить через т0 значение функции т в точке М, через -tj, т2, . . . , z2p — значения этой функции в первом, втором, . . . , 2р-м фокусе М, то согласно правилу п. 347, мы будем иметь
?tc 2?тс 2р?тс 2ртс
Свойства решений второго рода
295
Если р — числитель п, то мы видим, что 12р—т0 является кратным 2тг, т. е. что точка М и ее 2р-й фокус совпадают.
Траектория, исходящая из точки М и бесконечно близкая к (Г), пройдет, следовательно, снова через точку М после того, как совершит к-\-2 обхода по замкнутой траектории (Т), если к-\-2 — знаменатель п.
Таким образом, точка М является своим 2р-м фокусом; но можно задать себе вопрос, к какой категории фокусов она принадлежит с точки зрения классификации предыдущего пункта.
Примем систему координат, аналогичную таким полярным координатам, что уравнение замкнутой траектории (Г) есть
р=1
и что со меняется от 0 до 2 тс, когда совершается обход этой замкнутой траектории. Тогда кривые р=сопэ1 являются замкнутыми кривыми, охватывающими друг друга подобно концентрическим окружностям, а кривые ш=сопз1 образуют пучок расходящихся кривых, которые пересекают все кривые р==соп51, причем таким образом, что кривая =а+2к совпадает с кривой ш=а.
Пусть тогда ш0 — значение со, которое соответствует исходной точке М; значение со, которое будет соответствовать этой же самой точке М, рассматриваемой как 2р-й фокус исходной точки, будет
“о + 2 (к 2) п.
Пусть
р = 1 + ф (со)
— уравнение траектории (Т'), близкой к (Г) и проходящей через М. Функция ф (ш) будет соответствовать функции ф (ж2) предыдущего пункта. Мы будем иметь ф(со0)=0, и речь идет о рассмотрении знака выражения
Ф К) + ^ (к -ф- 2) —].
Таким’Ъбразом, речь идет о построении функции ф(ш), а для этого мы должны только применить либо принципы главы VII, либо принципы п. 274. Если мы, например, применим эти последние, то вот что найдем. Функция ф (со) разложима по степеням двух количеств
Ае“, А'е~~.
Коэффициенты разложения являются периодическими функциями с периодом 2тг; А и А' — две постоянные интегрирования; что же касается я, то это постоянная, разложимая по степеням произведения АА’1
« = «О + Я1 (ААГ) + а2.(АА')2 + ? • -
При этом Яц""равно характеристическому показателю (Т), т. е. т.
Если (Т')’мало отличается от (Г), то^две постоянные А и А' очень малы; они имеют порядок угла, который я назвал я в предыдущем пункте
296
Новые методы небесной механики. III
и который не следует смешивать с показателем, который я обозначаю той же буквой в настоящем пункте.
Если мы продвинем приближения до третьего порядка включительно относительно А и А', то ф(ш) сведется к полиному третьего порядка относительно этих двух постоянных, и я смогу написать
ф («о) = Ае*ша -I- А'е-™*' +1 (Ле“*, Л'е“"),
где / — целый полином относительно Ле“ш, А'е~*ш, содержащий только члены второй и третьей степени. Коэффициенты полинома /, так же как о и о', являются периодическими функциями с периодом 2п.
