Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть Р’ — точка, расположенная немного за мы сможем соединить М с Р' траекторией (Г'), лишь бы расстояние РР’ оставалось меньше некоторой величины 8'. Ясно, что 8' является непрерывной функцией X и сводится к 8 при Х=0.
Возьмем X > 0 так, что М лежит за /г; мы можем заставить М играть роль Р’ и соединить точку М с самой собой траекторией (Г'), лишь бы расстояние МР было меньше 8' или лишь бы было
е<8';
при Х=0 е есть нуль, и 8'=8^>0; следовательно, можно взять X достаточно малым, чтобы это неравенство было удовлетворено.
Тогда мы можем соединить точку М с самой собой траекторией (Т'), мало отклоняющейся от (Т), обходящей (Т) /с+2 раза и пересекающей (Г) 2р-}-1 раз.
На рисунке В А представляет дугу (Г), на которой находится точка М. МС — дуга (Т'), исходящая из М, а ИМ — другая дуга этой же самой траектории, оканчивающейся в М. Стрелки указывают направление, в котором описываются траектории (рис. 12).
Точка М может быть таким образом соединена с самой собой не одной, а двумя траекториями (Г'); для одной, как указывает рисунок, угол
Свойства решений второго рода
299
СМА положителен, так что СМ лежит над МА; для другой угол СМ А отрицателен.
Траекторию (Т') нельзя считать замкнутой траекторией; она исходит из точки М, чтобы вернуться в точку М, но направление касательной не одно и то же в исходной точке и в конечной точке, так что дуги МС и ИМ не сливаются.
Траектория (Т'), идущая таким образом из М в М с угловой точкой в М, образует, следовательно, то, что можно назвать завитком. Делая то же самое построение для всех точек М траектории (Г), мы получим ряд завитков’, мы их получим даже два, первый соответствует случаю, когда угол СМА положителен, а второй — случаю, когда этот угол отрицателен. Эти два ряда отделены друг от друга; в самом деле, переход от одного ряда к другому можно совершить, только если угол СМА становится бесконечно малым.
Тогда траектория (Г'), становясь бесконечно близкой к (Г), должна была бы пройти через фокус Е, согласно самому определению фокусов; однако, так как она должна примыкать к точке М, то точки М и Р слились бы; этого не может случиться, согласно принципам п. 347.
Таким образом, если все фокусы являются противошерстными, мы имеем два ряда завитков при X 0 и не имеем их при X <[ 0.
Если бы все фокусы были пошерстными, то мы могли бы повторить те же рассуждения; мы нашли бы, что имеется два ряда завитков при X < 0 и что их нет при X > 0.
375. Рассмотрим один из рядов завитков, определенных в предыдущем пункте; действие, вычисленное вдоль одного из этих завитков, будет изменяться с положением точки М; оно будет иметь, по крайней мере, один максимум или один минимум.
Я говорю, что если действие есть максимум или минимум, две дуги МС и СИ сливаются, так что траектория (Т') является замкнутой и соответствует периодическому решению второго рода.
В самом деле, предположим, что траектория (Т') соответствует минимуму действия и что угол СМА больше угла В МБ, как на рисунке; тогда возьмем точку М1 слева от М бесконечно близко к М, построим завиток {Т[), бесконечно мало отличающийся от завитка (Г') и имеющий свою угловую точку в М-1, пусть МЛС1 и Млр1 — две дуги этого завитка.
Из точек М и Мх я опускаю два перпендикуляра МР и Мл(} на МХСХ и МО.
Согласно хорошо известной теореме, действие вдоль (Т') от точки М до точки будет равно действию вдоль (Г') от точки Р до Мх. Таким образом, мы будем иметь:
Рис. 12
300
Новые методы небесной механики. III
действие (Т[)= действию (Г') + действие (М]Р)— действие (QM) или
действие (Т\) = действию (Т') + действие (ММ]} (cos СМ А — cos BMQ), или, наконец,
действие (Т[) < действия (Г'), что абсурдно, поскольку (Т') по предположению соответствует минимуму действия.
Если бы мы предположили, что
С МЛ < BMD,
то пришли бы к тому же абсурдному выводу, помещая точку справа от М.
Итак, следует предположить, что
CMA=BMD,
т. е. что две дуги сливаются.
То же рассуждение применимо к случаю максимума.
Таким образом, каждый ряд завитков содержит, по крайней мерет две замкнутые траектории.
Каждая из этих замкнутых траекторий делает /с+2 оборота вокруг (Г) и пересекает (Т) в 2р точках. Для р из них угол, аналогичный СМАУ положителен, а для р остальных он отрицателен; в самом деле, кривая (Т'), будучи замкнутой, должна пересечь (Т) столько же раз в одном направлении, сколько в другом.
Таким образом, эту замкнутую траекторию можно рассматривать как завиток 2р различными способами; ибо мы можем считать любую из наших 2р точек пересечения угловой точкой; для р из этих способов завиток, определенный таким образом, будет принадлежать первому ряду, а для р остальных — второму.
Среди завитков каждого ряда имеется, таким образом, не два, а, по крайней мере, 2р таких, которые сводятся к замкнутым траекториям. Только мы получаем таким образом не 4р, а лишь две различные замкнутые траектории.
То, что их не больше, не вытекает из предыдущего рассуждения, но может быть выведено из принципов предыдущей главы.
Траектория (Т'), определенная таким образом, будет иметь 1/а(/с+1)р двойных точек, если к — нечетное, и 112(к-\-2)р двойных точек, если к — четное. Это справедливо для малых значений X; но я говорю, что это останется верным, как бы ни было велико \ пока существует траектория (Т'). В самом деле, число двойных точек может измениться, только если две ветви кривой (Т') становятся касательными друг к другу; но две траектории не могут касаться друг друга, пе сливаясь.
