Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
p+qn=0.
Я сказал, что |д| не может превзойти 3; я мог бы добавить, что наша правая часть, будучи целым и однородным полиномом степени 3 относительно ?0, ?? и ‘'fai если считать ?0 степени 2, может содержать ?' и ^ только в нечетной степени, т. е. что q должно быть нечетным и может принимать только одно из значений +1 или +3.
Таким образом, можно получить
p+qn=О,
только если знаменатель п равен 1 или 3.
Построение решений второго рода
267
Мы исключим первое предположение, при котором га оказалось бы целым числом, однако нам остается рассмотреть два случая.
1. Знаменатель га не равен 3. В этом случае, так как правая часть имеет нулевое среднее значение, уравнение даст немедленно ?* простой квадратурой; тогда ^ определится с точностью до постоянной, которую я назову ^1, и эта постоянная остается неопределенной вплоть до определения членов высшего порядка; следует заметить, что то же относится и к Э.
2. Знаменатель га равен 3. Тогда чтобы уравнение было интегрируемым*, необходимо сделать среднее значение правой части равным нулю; для этого мы распорядимся постоянной й.
Пусть [0Х] — среднее значение 0!; заметим, что
таким образом, мы определим Э уравнением
и одна квадратура даст нам затем с точностью до постоянной
Возьмем теперь первое уравнение (7), рассуждая таким же образом. Так как 0 будет полиномом не третьего, а первого порядка, и га не
будет целым, мы будем уверены, что среднее значение равно нулю.
Таким образом, нам достаточно взять Х^О, чтобы среднее значение правой части было равно нулю и чтобы % было определено с точностью до постоянной 8^
Перейдем теперь к двум последним уравнениям (7); их можно написать в виде
Правые части являются известными периодическими функциями от 1\ для того чтобы интегрирование было возможным, достаточно, следовательно, чтобы правая часть первого уравнения не содержала членов с е~ш, а правая часть второго — членов с е',л.
Анализ этого двойного условия проводится легче, если рассмотреть третье и четвертое уравнения (7), которые эквивалентны двум последним и записываются в виде
* Здесь и дальше это выражение означает, что решение является периодическим. {Прим. ред.).
268
Новые методы небесной механики. III
Необходимо, чтобы средние значения правых частей были равны нулю.
Что касается первого из этих уравнений, то условие выполняется само собой; в самом деле,
~^в1
л а
Это последнее выражение равно нулю в силу уравнения (9), если знаменатель п равен 3, а в противном случае — потому что [в,] есть тождественный нуль.
Второе условие записывается в виде
Если знаменатель п равен 3, то оно даст нам р1.
Если, наоборот, знаменатель не равен 3, то оно даст Р!=0, потому что [в,] — тождественный нуль.
Таким образом, мы видим, что ё17 %, ?', 1\[ — периодические функции от ( и Э. Следовательно, они будут разложимы в ряды Фурье вида
^Ае
Однако можно добавить кое-что сверх того; мы должны рассмотреть уравнения следующего вида:
-^1 = X = ^ Ае*<-р‘+1”‘+я&\ тч\ = У = ^ Ве*(-Ры'1Л‘
из которых найдем
С -- ^ ^ еЦр1+дп1+Я%) -с
*(Р+?И) ^
^ ё. Рцр1+чщ+ч&) I ~!Р-ш
2л Цр + дп + п)е '
где у и у' — постоянные интегрирования.
Таким образом, если X и У — целые и однородные полиномы относительно
)/т0, да1",+в). ^-<ся<+в),
то же будет для Ё и для у], по крайней мере, если предположить, что постоянные 7 и у' равны нулю. Если не предполагать, что эти постоянные суть нули, то 6 и т] опять будут целыми полиномами, но не однородными.
Построение решений второго рода
269
Применим эти принципы к величинам, которые мы только что вычислили; мы видим, что так как
*28] Й0! й©!
— полиномы, которые согласно соглашениям, сделанным нами о степенях, имеют соответственно степени
1, 3, 2, 2,
то же имеет место и для
Когда мы подставим в 02 вместо этих количеств их значения, степени которых суть соответственно 1, 3, 2, 2, то увидим, что 02 станет полиномом 4-й степени и что
<?82 <?02 <3&.2 ^02
будут полиномами соответственно степеней
2, 4, 3, 3.
Мы можем обобщить этот результат.
Уравнения (5) и (5Ыв) позволяют вычислить шаг за шагом неизвестные т^, т]к\ мы принуждены были бы остановиться только в том случае, если среднее значение правой части одного из уравнений (5) оказалось отличным от нуля.
Предположим, что это обстоятельство не имеет места; я говорю, что
^к’
будут полиномами степеней
А + 2, к, /с + 1, к + 1
относительно
уЧе-‘Чн'+а). (10)
а коэффициенты этих полиномов будут периодическими функциями от
? с периодом 2 тт.
В самом деле, предположим, что это справедливо для всех значений индекса, меньших к.
Мы знаем, что 0д. — целый полином степени /с+2 относительно
V \ (?<*) (11)
в предположении, ЧТО ЭТИ количества имеют соответственно степени <7+2,
д, <7+1, 9+1. Если, следовательно, мы подставим вместо количеств (11)
270
Новые методы небесной механики. III
полиномы, степени которых относительно количеств (10) как раз равны <7+2, <7, <7+1, <7+1, то очевидно, результат подстановки будет полиномом степени й+2 относительно количеств (10).
Таким образом, 0*. — полином степени й+2 относительно количеств (10), и по той же причине
