Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Эти две функции не могут обратиться в нуль одновременно; ибо если бы два интеграла подобного линейного уравнения обратились одновременно в нуль, то они могли бы отличаться только постоянным множителем. Но С (<) не постоянная.
Таким образом, и числитель, и знаменатель ? (<) обращаются в нуль, но не одновременно; итак, С (I) [и, следовательно, 6? (?)] могут обратиться в нуль и в бесконечность.
Все неустойчивые решения, о которых идет речь, таким образом, второй категории; за этим исключением в предыдущем ничего не нужно менять.
ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЙ ВТОРОГО ГОДА
360. Мы сейчас увидим, как можно эффективно построить периодические решения второго рода.
Пусть
dXj dF_ dijj dF /j.
dt dy{ ' dt dxi '
— система канонических уравнений; предположим, что они допускают периодическое решение первого рода
*1 = ?*(0. ft = ФЛО- (2)
Мы ставим себе целью изучить периодические решения второго рода, которые порождаются решением первого рода (2).
Анализ можно упростить, по крайней мере, при изложении, если привести уравнения (1) к надлежащему виду рядом замен переменных.
Мы предположим только две степени свободы. Когда t увеличится па период, у, и у2 возрастут соответственно на
2А17Г, 2А2к,
где кх и к2 — целые.
Я могу сначала предположить, что ^=0; ибо если бы это было не так, то я обратил бы кх в нуль заменой переменных из п. 202.
Я могу затем предположить, что периодическое решение (2) приводится к
?i=0, х2=0, 1/1=0,
ибо, если бы это было не так, то я совершил бы замену переменных из п. 208.
При этих условиях мы увидим сейчас, каким образом можно связать исследование периодических решений второго рода либо с анализом п. 274, либо с анализом п. 44.
361. Напомним результаты, полученные в пунктах 273—277. Пусть канонические уравнения
262
Новые методы небесной механики. III
содержат параметр X, и предположим, что они допускают периодическое решение
*< = ?<(*). »< = «Ы0 (2)
с периодом Т0, соответствующим значению С0 постоянной живых сил и
Х=0. Формально мы удовлетворим уравнениям (1) рядами следующего вида; эти ряды будут расположены по степеням количеств
X, Аке?-ь*, А'кег*м (А = 1, 2, .. п—1).
Коэффициенты будут периодическими функциями от ?+А, зависящими, кроме того, от постоянной живых сил С. Период Г будет также зависеть от С и от произведений АкА'к\ он приведется к Гп при
С=С0, АкА'к = О, Х = 0.
Показатели ак — постоянные, разложимые по степеням X и произведений АкАк и зависящие, кроме того, от С; они приводятся к характеристическим показателям решения (2) при
С = С0, АкА'к = О, Х = 0.
Величины Ак, А'к и А — постоянные интегрирования.
При изучении асимптотических решений мы предположили, ЧТО ак вещественны, и приравняли нулю одну из двух постоянных А.
Чтобы применить эти же результаты к изучению периодических решений второго рода, мы предположим, что, наоборот, показатели ак чисто мнимые.
Я предположу только две степени свободы, что позволит отбросить индекс к, ставший ненужным.
Чтобы получить периодические решения, необходимо, чтобы показатель « был соизмерим с 2и/Г. Если бы наши ряды сходились, то это условие было бы достаточным; но они расходятся и удовлетворяют уравнениям (2) только с формальной точки зрения. Таким образом, необходим более глубокий анализ; можно было бы применить искусственный прием, аналогичный примененному в пунктах 211 и 218. Таким образом, мы получили бы ряды, которые были бы по отношению к рядам из пунктов 273 и 277 тем же, что и ряды Болина по отношению к рядам в пунктах 125 и 127. Таким образом, мы пришли бы косвенным путем к периодическим решениям второго рода. Но я предпочитаю действовать иначе.
Прямое построение решений
362. Заменами переменных в пунктах 209, 210, 273, 274, применимыми всегда, когда имеется система канонических уравнений, допускающая периодическое решение, мы можем привести наши уравнения к виду уравнений п. 274. В этом пункте мы составили следующие уравнения:
Построение решений второго рода
263
<1х\ &у\ <1Р' ,п,
й1 ' <1у\ ’ й? " <1х{ ’ ' '
где Р' —целый многочлен относительно ж', у[, х'?, который будет одно родным степени р+2, если считать х[ и у[ величинами первого порядка, а х'2 — второго порядка. Коэффициенты этого полинома являются периодическими функциями от у'2, период которых равен 2тт.
Как и в п. 274, мы сейчас отбросим ставшие ненужными штрихи и будем писать Рр, ж,., у. вместо Р', Р'р, х\, у'.
Тогда мы можем предположить (см. стр. 90—92), что
Р0=Нх,+2Вх1у1,
где Н и В — постоянные; я мог бы предположить также Н—1, но я этого не буду делать.
Положим затем, как на стр. 92,
х1 = е" \/и, у1 = е“г\/м; уравнения сохранят каноническую форму, и мы получим
Рй=Нх2-\-2Ви\
остальные члены Рх, Ръ, ... будут периодическими с периодом 2V. как по и;, так и по уг.
Тогда наши уравнения имеют форму, аналогичную той, которую мы изучали столько раз и, в частности, в пунктах 13, 42, 125 и т. д., где параметр е играет роль параметра р.. Следовательно, мы можем применить к ним методику п. 44.
Однако возникает одно препятствие: гессиан от Рл по л:2 и по и равен нулю; а это как раз один из исключительных случаев п. 44.
