Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
<20*. <10*. <10*. <10*.
<^о ' ^о ’ <^о ’ «Ч)
будут полиномами степеней
й, й+2, й+1, й+1
относительно этих же количеств.
Таким образом, то же самое имеет место для правых частей первого, второго, пятого и шестого уравнений (7); следовательно, повторяя предыдущее рассуждение, мы легко увидели бы, что то же самое опять имеет место и для
Чк’ 71к'
что и требовалось доказать.
Интегрирование уравнений (7) ввело четыре новых постоянных интегрирования. В самом деле, из них мы узнаем Б[, -г;] с точностью
до членов
Т1> 81>
содержащих четыре произвольные постоянные
Ти 81> т1. 8(-
Мы сохраним только одну из этих постоянных и положим
Гг = *1 = 0, 8; = —г;.
После этого попытаемся определить
^2> ^2’ ^2’
при помощи уравнений (5) и (5Ыэ), полагая в них к = 2.
Сначала необходимо, чтобы правая часть первого уравнения (5) имела нулевое среднее значение; это среднее значение равно
(-<4 _Г
если, как всегда, применять квадратные скобки для обозначения среднего значения функции. Таким образом, мы получим
Построение решений второго рода
271
Предположим, что в2 разложено в ряд Фурье вида
Так как 02—полином четвертой степени, д не может превосходить по абсолютной величине 4, и, следовательно, если знаменатель га больше 4, [02] будет тождественным нулем, а условие (ЭЫэ) будет выполнено само собой; постоянная Э останется неопределенной.
Если знаменатель га равен 2 или 4, условие (ЭЫв) определит Э.
Если знаменатель га равен 3, постоянная Э уже определена условием (9), и условие (ЭЫэ) послужит для определения постоянной Вычислим в 02 Члены, которые зависят ОТ ЭТОЙ ПОСТОЯННОЙ '([• Очевидно, мы найдем
т; — 4!^-е<(«<+аЛ,
11V /
71 <*®1
т. е.
I \/и0
Среднее значение этого выражения будет равно
I У^Цр
Таким образом, условие (ЭЫэ) можно написать (если заметить, что Г ^2©! 1 а а [0]]\ " '
Ьщк\=~п-ч^1)в ВИде
;у^ <*®2 + ’
где Н зависит от Й, но не от "{[•
Если знаменатель га не равен 3, [0:] равно 0, и условие (ЭЫв) не зависит от Таким образом, если этот знаменатель равен 2 или 4, уравнение (9Ыз) будет зависеть от Э, а не от и определит Э.
Если знаменатель равен 3, условие (ЭЫэ) зависит от ^ 11 определит ^ (при этом оно даст = 0).
Во всяком случае, определив таким образом |2, постараемся вычислить -г]2 при помощи второго уравнения (5). Мы распорядимся Х2 таким образом, чтобы среднее значение правой части было равно нулю. Заметим, что Х2, вообще говоря, не будет нулем; в самом деле,
<*[в,]
вообще говоря, не будет нулем. Ибо 02, будучи полиномом степени 4, будет содержать один член с не зависящий от величин и -д].. Коэф-
272
Новые методы небесной механики. III
фициент этого члена будет периодической функцией от I периодом 2и, и его среднее значение не будет, вообще говоря, нулем.
Перейдем к уравнениям (бЫэ) или, что то же самое, к двум последним уравнениям (5). Правые части этих двух последних уравнений должны иметь нулевые средние значения.
Следовательно, мы должны иметь
йв
du.
ЧТО определяет [Л2. Но
.ц]— 2!л25о>
цр2 __6> цо2 I '
0 du0 0 d-ri'0
— полином четвертого порядка. Таким образом, Р2 содержит члены с х\у\ и, следовательно, содержит член с
иI — (\/и0е^п<+а))2 (\Ді0е-ІІ’и*+ >)*?
Коэффициент этого члена является периодической функцией от I, среднее значение которой, вообще говоря, не равно нулю. Таким образом, вообще говоря, иі следовательно, р.3 не равны нулю. Это
то же самое рассуждение, что и для Х2.
Затем мы должны иметь
©]=°-
(12)
Но я говорю, что это условие выполняется само собой.
В самом деле, мы имеем интеграл живых сил, F = const, откуда выводим ряд уравнений:
Ф0 = const, Фх == const, Ф2 = const........
Рассмотрим третье из этих уравнений:
Ф2 = 02 — ^2 — inU2 + + 2Во№ = C0nst-
Этим уравнением можно заменить четвертое уравнение (5), и когда мы определим Х2, р2, 52, тг[2 и и2 при помощи трех первых уравнений (5), оно определит и2 без всякого интегрирования. Таким образом, можно быть уверенным, что определение н2 возможно, и, следовательно, что условие (12) выполнено.
Мы определим таким образом ?2, i\2, S2, с точностью до членов
Тг» 8г> Т2е“,(я/+0}. (?< + »),
Построение решений второго рода
273
зависящих от четырех произвольных постоянных. Мы сохраним только одну из этих постоянных и положим
7 2 :
? о» К = —й-
363. Вычисление продолжается таким же образом. Для интегрируемости уравнений (5) необходимо выполнение условий
(1г1п
п гад п. н
= 0,
+ 2^Д0 = 0.
Последние два из этих условий определят и второе будет следствием первого в соответствии с тем, что мы видели относительно условия (12). Таким образом, нам остается изучить первое условие.
Выражение <20Л/^г]о является полиномом порядка /с 2; если его разложить в ряд Фурье
2 Ае ^+гя*+?в)
то целое Я не может превзойти к -]- 2 по абсолютной величине. Следовательно, если к -(- 2 меньше знаменателя п, то нельзя получить
Р + ЯП = 0,
и среднее значение нашего выражения будет равно нулю. Условие
?ад=о
(13)
будет, следовательно, выполнено само собой.
Мы ввели следующие произвольные постоянные:
и 0,. может зависеть от
