Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Это обстоятельство заставляет меня предположить, что Р зависит от некоторого параметра X, и мы будем разлагать одновременно по степеням X и по степеням е. Впрочем, мы видели в главе XXVIII, что при изучении периодических решений второго рода всегда следует ввести подобный параметр, поскольку решения второго рода характеризуются как раз тем, что они сводятся к решению первого рода при Х=0 и отличаются от него при X 0.
Только вместо одного произвольного параметра я введу для большего удобства изложения два, которые я назову X и р.
Итак, мы предположим, что различные коэффициенты Р разложимы по степеням двух параметров X и р и что при Х= р=0 постоянные Н и 2В сводятся к — 1 и к — т, где п — вещественное рациональное число.
264
Новые методы небесной механики. III
Я предполагаю, что X и р можно разложить по возрастающим степеням е в виде
X = Х:е Х2е2 р = р.,е р2в2
где Х1, Х2, ... — постоянные, которые я оставлю пока неопределенными, но я оставляю за собой их определение в последующих вычислениях.
При этих условиях последуем шаг за шагом вычислениям п. 44. Мы положим
Х2 = ^0 “Ь е^1 "Ь е% + ? ? • >
Уг = Уо + ег11 + е3-г12 + • ? ?' ,,,
(4)
и = п0 + ец1 -)- е2и2 + . . .,
’> = »0 + №1 + ЛЯ + . ...
Эти формулы аналогичны формулам (2) из п. 44.
Величины -г\к, ик, ик являются, следовательно, периодическими функциями от ?; ^ и и0 — постоянные и
Ъ = = 1 (п* + а)>
где а — постоянная интегрирования, которую я определю более полно в дальнейшем.
Подставим затем в Р вместо X, р, х2, у2, и и у их разложения по степеням е; тогда также будет разложима по степеням е, и мы получим
^ = Ф0 + еФ1+е2Ф2+ . . .
Я замечу сначала, что Ф* — однородная функция степени к-Ь2, если считать, что ^ и ир степени р+2, цр и ир степени р, ~кр и рр степени р.
При этом она представляет собой целый полином относительно
V иР< V (Р>0)
и относительно
\!ийе’\ \!и0е~'°-
Эти два последних количества мы считаем порядка 1. Наконец, коэффициенты ЭТОГО ПОЛИНОМа ЯВЛЯЮТСЯ ПерИОДИЧеСКИМИ фуНКЦИЯМИ ОТ Т]д, период которых равен 2 п.
С другой стороны, мы найдем
Ф* = 1пик “Ь ^к^0^0 “Ь 2В0и.ки0,
где Н0 и В0 — значения йН/йл и сШ/йр при Х=р=0. (Мы можем предположить, что при Х=р=0 мы имеем й/7/йр=й2?/<2Х=0.) С другой стороны, 0ц. зависит только от
Построение решений второго рода
Тогда наши дифференциальные уравнения записываются в виде
dt rfTJo * йг ’ dt dun ’ dt duu ' ' '
При k=0 они приводятся к
dgn dun f). ^n__l. ^2
dt ~ dt ’ dt ’ dt
in.
Они показывают, что Ц0 и и0 — постоянные, и что
7|0 = ?, = I {пЬ —{- Э),
где Э — постоянная, подлежащая определению.
Мы можем с пользой присоединить к уравнениям (4) и (5) другие уравнения аналогичного вида, которые являются всего лишь их преобразованиями.
Разложим хг и уу по степеням е, и пусть
Х1 ~ % + + е^2 + ? ? ? > .. , .
- , , 1 2 ' I (1ЬКЧ)
Ух = ?»!(, + + еЧ + ? • ? ?
Разложения (4Ы5), впрочем, выводятся непосредственно из двух последних разложений (4).
Тогда мы видим, что Фк — целый полином относительно количеств
V К' V 1р' Рр (если не считать ^о) (в)
и что этот полином однородный степени /с+2, если считать, что
— степени р + 2,
Ер. Чр —степени р+ 1,
V V —степени р.
Тогда мы получим уравнения
_ аФк йЧ'к __ «*Ф* ,
dt — йт,' • а — dZ^Q ’ ' ;
эквивалентные двум последним уравнениям (5).
Мы замечаем, что 6Фк1д,1\0, <1Фк/(1%0, йФк!й^ йФк1йг0 — полиномы того же вида, что и Фй, относительно количеств (6) и чти при соглашениях, сделанных по поводу степеней, они однородны, первый — порядка Ле+2, второй — порядка к, а два последних — порядка /с-И-Кроме того, мы имеем
266
Новые методы небесной механики. III
Заменим в уравнениях (5) и (5Ыз) ?% этими значениями и одновре-
менно 7]0 на I, где необходимо предположить, что мы сделали к—\, и воспользуемся ИМИ ДЛЯ определения б!, 7]!, Н1? Уц
Мы имеем таким образом шесть следующих уравнений:
ЙЧ], ЙФ, Т1 с1?г
1 Л1“о>
dt ~ сЦ0 1 °' dt dij0 ’
(7)
dill d($ « dv 7 rfBi n л
-dT=d^' 4f^—d^-2^BO’
d9i . du-^ . ty « duQ ??0j »./ - «) ti t»
ТГ=3? - "* 3?; + 2ВЛ - "El + 2ВлЕ-
d’il d0i , . du-i ,, D du„ dB, . _
df ~~ d?' + 1П dEJ d?' — d=' + Ш7Ь ~ 2Во(М0-
Рассмотрим сначала второе из этих уравнений; правая часть является целым однородным полиномом третьей степени относительно
^о> ^о> "Чо-
коэффициенты которого — периодические функции ОТ Yjg— t с периодом 2тс. Так как п — рационально, то наша правая часть также будет периодической функцией от t, от которого она зависит двояким образом — посредством ffo, которое равно t, и посредством !' и которые являются функциями от гаг+Э.
Период будет кратным 2 тс, т. е. равен такому числу 2тс, сколько единиц содержится в знаменателе п.
Правую часть можно, таким образом, разложить в ряд Фурье вида
2^4e*[/^+?Cn<+aj], (g)
где р и q — целые. Но ц не может превысить 3 по абсолютной величине, поскольку правая часть является полиномом третьей степени.
Отсюда вытекает, что, вообще говоря, среднее значение правой части равно нулю. В самом деле, мы получим это среднее значение, сохраняя в ряде (8) члены, не зависящие от t, т. е. такие, что
