Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, посмотрим, каково будет наибольшее число независимых инвариантов каждого типа.
Я уточняю, что я понимаю под этим; я не буду рассматривать в качестве независимых п инвариантов первого типа
F+tF 1,
или п инвариантов второго типа
5^2,....
или п инвариантов третьего типа
62
Новые методы небесной механики. III
или п инвариантов четвертого типа
5 Л. 5................ (Fi = Fi + tFЪ,
если между /,1, Ря будет существовать тождественное соотноше-
ние вида
ФЛ + Ф/.+ +ФЛ = °.
где Фх, Ф2, . . Ф„ — интегралы уравнений (1).
С самого начала ясно, что нельзя получить более четырех инвариантов первого типа, т. е. более числа уравнений (ЮЫэ). Эти четыре инварианта уже известны.
Нельзя получить более тринадцати инвариантов второго типа, три из которых происходили бы из трех пар уравнений вида (5Ыэ), (51ег), а десять остальных получались бы при помощи возведения в квадрат четырех уравнений (ЮЫй) и их попарных произведений. Эти десять последних действительно существуют; но они не являются независимыми от четырех инвариантов первого типа, поскольку их можно вывести из них с помощью процедуры п. 245. Следовательно, здесь можно было бы иметь три новых инварианта.
Нельзя получить более одиннадцати инвариантов третьего типа, три из которых происходили бы из трех пар уравнений вида (бЫэ), (51ег); шесть получались бы попарной комбинацией четырех уравнений (ЮЫб); два — комбинацией двух уравнений (1СНег) с соответствующим уравнением (ЮЫб).
Семь из этих инвариантов известны; одним является инвариант /
из п. 255, шесть остальных — это инварианты, которые выводятся из
четырех уравнений (ЮЫв), но их нельзя считать независимыми от четырех инвариантов первого типа, поскольку их можно вывести из них, пользуясь методикой п. 247.
Следовательно, здесь можно было бы иметь четыре новых инварианта третьего типа.
Наконец, нельзя получить более двух инвариантов четвертого типа, т. е. более числа уравнений (1(Нег).
Один из этих инвариантов известен, это — инвариант из п. 256; можно
было бы получить еще один новый инвариант.
Вероятно, что эти новые инварианты, существование которых не исключается предыдущим рассмотрением, не существуют; но чтобы доказать это, следовало бы обратиться к другим методам, аналогичным, например, методу Брунса.
Построение инвариантов
Применение кеплеровых переменных
261. Инвариант четвертого типа из п. 256 может быть получен в другом виде.
Пусть имеем любую систему канонических уравнений:
йхл_дР_ г1?_ .
сИ Лу{' сИ йх^ ' '
Рассмотрим следующий интеграл, взятый вдоль дуги какой-либо-кривой:
/ = ^ {х1<1у1 + хгд.у2 + . .. + Хпйуп).
Предположим, что мы записываем уравнения дуги кривой, вдоль которой происходит интегрирование, выражая х и у в функции параметра я, и что значения этого параметра, которые соответствуют концам дуги, — я0 и 04. Интеграл / будет равен
/=5[2а;^]?га-
“о
Предположим, что мы рассматриваем нашу дугу кривой как фигуру Р предыдущей главы, которая меняется с временем и сводится к Р0 при 1=0.
Тогда х, у и функции от х и у, такие, как Р, с1Р/йх, йР/йу, . . . будут функциями я и 1.
Мы придем к
или
Интегрируя по частям, получим
?=Шй]*+Ш?>-1>?1-
Но
2(1Р Лу (1Р (1х й!Р
йу йа' Лх (1а с1а г
следовательно,
й} г„
64
Новые методы небесной механики. III
Если мы предположим, что Е — однородная функция степени р относительно х, то придем к равенству
ар
Пусть тогда С — постоянная живых сил, такая, что уравнение живых сил записывается в виде
Пусть С„ и Су — значения этой постоянной, которые соответствуют я0 и яг; будем иметь
^ = (1 -Р)(С-С0). (3)
Следовательно, Е не является инвариантом в собственном смысле слова; но его производная по времени постоянна и, если пользоваться выражением, определенным в предыдущем параграфе, — это инвариант четвертого типа [в].
262. Предположим теперь, что Е представляет некоторый иной вид однородности.
Разделим пары сопряженных переменных на два класса и обозначим через хI, у. пары сопряженных переменных первого класса, через х\, у\ — пары сопряженных переменных второго класса.
Я предполагаю, что Е — однородная функция степени р относительно
(х\)2 и (г/;)2, так что имеем
Положим тогда
/=^ [2^)+у 2 (х'ау1—у,<1хП>
или
откуда
или
01_
аь
“о
__ г йх ау . 1 'у^/ах'ау' йу' ах"\
] аь ах ' 2 \ ас аа ец ах.)
у).
(1а.,
с1х,
г йу . 1 (ар ах' . ар ау’\д.
Построение инвариантов
65
или, после интегрирования по частям,
г 6х , <1Р йу ,6Р 6х' . (1Р йу'\ ,
ИТ~~ ] 2а\Лх^^"^ И‘1х71^~‘6у71а)
«»
-[21й+т2(г'я’+!''зг)П-
или
зг=^-^.
или, наконец,
? = (1 -рН^-Со),
что показывает, что / опять является инвариантом четвертого типа.
263. Применим предыдущее к задаче трех тел и посмотрим, какой вид примет инвариант из п. 256 при различном выборе переменных.
В п. 11 мы взяли в качестве переменных
Р?, рб, Р0, РЧ', Р'б', Р'0',
I, Е, 9, V, О'.
Р однородна степени —2 относительно переменных первого рода, следовательно,
5 [Р {Ы1 + б^ + 0^0) + Р' {ЬЧ1> + СЛе' + 0'й0')] + 3* (С1 — С0)
будет инвариантом.
Та же однородность имеет место, если за переменные принять, как в п. 12,
