Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
где к — постоянные, связанные хорошо известными соотношениями, выражающими ортогональность преобразования координат.
Таким же образом будем иметь
где р — масса планеты.
Теперь ясно, что С — нуль и что ? и т) — функции единственного аргумента IV, являющегося средней аномалией, и двух постоянных — большой оси а и эксцентриситета е.
С другой стороны, к — функции трех углов Эйлера, или, более общб, каких-либо трех функций <ог, о>2, ш8 этих трех углов.
Таким образом, х ж у — функции IV, а, е и ш.
Тогда будем иметь, называя С постоянной живых сил и п средним движением,
хх = /г^ -{- к[гі + Л"С,
х2 — к? к%т] -(-хя = А3? + кзц кз^,.
80
Новые методы небесной механики. III
а с другой стороны, выражения
2 (^*+».тЭ).
2(21<я;+4'‘?;)
должны быть независимы от ю.
Некоторые из этих высказываний были очевидны заранее и не доставляют нам нового контроля.
Действительно, йх(/6шк — такие линейные функции х{, коэффициенты которых зависят от ш, что
2<я:<5=;=0,
Отсюда вытекает, что мы можем написать следующее тождество:
сіх* ? dxa • dx q Kl 1ПГк + “з d^'
х\ х2 ха
?! ?2 <Рз
где а — любые постоянные, а $ — заданные функции ш; также будем иметь
1 doik ^ duk ^ 3 аШк —
Отсюда следует, что мы имеем
2(2*'зй+4'<й;)=
г/і у* Уз <Р? <Р? =Рз
а:, х0
У і Уз Уз
<р* <р* <pfc
Это выражение должно сводиться к постоянной, не зависящей от w, и, так как мы имеем три аналогичных соотношения, которые получаются, если положить к= 1, 2, 3, мы можем написать
У 3^2 У 2х3 == Const,
УЛ — Узх1 = const,
УзХ1 — У1Х2 ~ const.
Но это не новый результат; это уравнения площадей.
Использование интегральных инвариантов
81
Изучим теперь выражение
SfaSP+'-S)-
Посмотрим, как х и у зависят от а. Величины х содержат а множителем, а у содержат ап, ибо имеем
dit dxi
Следовательно, имеем
d’Ji = yi ? ?i dn da a ' da a ' п da ’
Следовательно, наше выражение превращается в
2**(t+??)-
Легко проверить, что оно равно нулю; действительно, имеем согласно третьему закону Кеплера,
п3а3 const,
откуда
2dn 3 da g
п ‘ а
Мы и здесь не получаем таким образом нового способа контроля.
Остается изучить два выражения
2(2i-?+!''S)=h'’
2 (** &+*$)“*?
Мы должны проварьировать только ей w; поэтому не должны больше варьировать ш, т. е. направление большой оси орбиты. Следовательно, можем выбрать особые (орбитальные) оси и положить
*i=*=*[--§?*+2
= il = а \/1 - е2[2 JP-1 (Ре).
х3 = ^ = 0.
Функции / — функции Бесселя; под знаком 2 индекс р принимает все целые значения от —оо до +со, за исключением значения 0.
6 А. Пуанкаре, т. И
82
Новые методы небесной механики. III
Отсюда получим
у! = —v-anYiJp-1 (ре) sin pw,
У2 = +!*ara V1 — Jp-i (Ре) cos PW-
Тогда выражение W после сокращения на общий множитель ра2/г принимает вид
Зе 2 7p-jP cos pw ~~2 2 Jp~i 2 Jp~:P cos pw+
+[27p-isin 2 (i e2) 2 2 7f-i,p sin pw+
+ (1 — e2) [2 Jp-1 COS pw]2 =
Я писал всюду для краткости Jр_г вместо J г (ре).
Мы доляшы иметь
W = 3^f~.
dn
Но
С ~ — “йГ ' п2а5 = ?п,
где т обозначает массу Солнца, сложенную с массой планеты; следовательно,
1 JL
С = — ^-т3п3
и
яг - -i
3 = — рт3п 3 =—ра2п.
Но так как
W ~ u-abiW,
то получится
W>=— 1.
Приравнивая подобные члены, получим ряд соотношений между функциями Бесселя J.
Изучение выражения Е привело бы нас к ряду аналогичных соотношений, в которые на этот раз вошли бы функции Бесселя J и их первые производные.
271. Можно было привести еще примеры частных приложений; можно было бы, например, после разбора, как мы это только что сделали в предыдущем пункте, случая кеплерова движения, т. е. после учета членов степени 0 относительно возмущающих масс, приложить те же принципы
Использование интегральных инвариантов
83
к совокупности членов степени 1. Без всякого сомнения, мы пришли бы к интересным соотношениям.
Равным образом, можно было бы изучать по тому же способу уравнения вековых возмущений, которые рассмотрены в главе X. Тогда было бы выгоднее вместо интегрального инварианта
^ 2 (2х(йу. + у^х{)
воспользоваться аналогичными инвариантами, которые определены в пунктах 261, 262, 263.
Мы оставим все эти вопросы в стороне.
Приложение к асимптотическим решениям
272. Применим еще эти принципы к асимптотическим решениям. Возьмем за переменные координаты х{ и
Рассмотрим инвариант
1 = | 2 (2хс1У + Уйх)',
мы знаем, что если С — постоянная живых сил и если Сг и С0 — значения этой постоянной на двух концах линии интегрирования, то будем иметь
J—Зt (Сх—С0)=сопбП (1)
Если рассмотреть систему асимптотических решений, то она представится в следующем виде: и у. будут разложены по степеням
А^‘, ..., Акеь\
причем коэффициенты будут периодичны по ?+/г, и
-^21 • • •> ^ суть п-\-1 произвольных ПОСТОЯННЫХ.
Если эти значения х. и у. подставить в уравнение живых сил, то левая часть окажется разложенной по степеням
А^‘, А„е“*'......
причем коэффициенты будут периодичны по tJrh; а так как она не должна зависеть от I, то отсюда вытекает, что она не будет зависеть также и от А±, А2, . . ., Ак и /г.
Следовательно, если мы подставим значения х< и у. в уравнение (1), то получим
