Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
В". = 0 (i=l, 2, ..., га) (7ter)
и так далее.
Итак, мы составим последовательно соотношения (7), (7bis), (7ter)
и т. д. и остановимся тогда, когда придем к системе соотношений, которые являются только следствиями соотношений, образованных ранее.
Соотношения (7), (7bis), (7ter) и т. д. будут алгебраическими согласно нашим предположениям, и их совокупность образует то, что я назвал в п. 11 системой инвариантных соотношений.
Следовательно, если система дифференциальных уравнений допускает особое периодическое решение, то она будет допускать систему инвариантных алгебраических соотношений.
54
Новые методы небесной механики. III
Вероятно, задача трех тел не допускает инвариантных алгебраических соотношений, отличных от тех, которые уже известны. Однако я еще не в состоянии доказать это.
Допустим, что мы имеем несколько особых решений; для каждого из них должно быть
Р1Я(11 + Р.Я|,*+(8)
Только постоянные р могут не быть одинаковыми для двух различных особых решений. Следовательно, не очевидно, что эти два особых решения должны удовлетворять одной и той же системе инвариантных соотношений. Тем не менее, как мы сейчас докажем, это имеет место.
Допустим для определенности, что д=4; последовательность рассуждений была бы такой же в случае д > 4. Рассмотрим п соотношений
РА.1 + РА,, + Р3Я.-,з + РА.* = 0 (* = 1,2..П). (17)
Образуем таблицу Т из 4п коэффициентов В; все определители, составленные при помощи четырех столбцов этой таблицы, должны быть равны нулю.
Если они обращаются в нуль не тождественно, то мы найдем таким образом одно или несколько соотношений, которым должны удовлетворять все особые решения, куда войдут только а: и не войдут неопределенные коэффициенты р.
Если же они равны нулю тождественно, то рассмотрим тройку из соотношений (17); мы выведем из них
Р1 Рг Рз Р* ’
где М — миноры первого порядка таблицы Т.
Следовательно, мы будем иметь
вд + вд+ед, + ед = о. (18)
Это соотношение (18) должно быть тождественным, ибо коэффициентом при является один из определителей таблицы Т, которые, как я предполагаю, тождественно равны нулю.
Следовательно, мы получили бы здесь соотношение вида (б!ег), что противоречит нашему предположению, по крайней мере, если не допускать, что все М равны тождественно нулю.
Если все миноры первого порядка таблицы Т тождественно равны нулю, то составим миноры второго порядка.
Пусть М[, М'2, М'3 — три из этих миноров, полученные выбором в таблице трех каких-либо столбцов и вычеркиванием в ней строк 1 и 4 для М[, 2 и 4 — для М’2, 3 и 4 — для М'3.
Построение инвариантов
55
Мы получим
+ + (19)
Это соотношение также должно быть тождественным, ибо коэффициентом при Ед. в левой части является один из миноров первого порядка из Т, которые все, как я предполагаю, тождественно равны нулю.
Следовательно, это снова было бы соотношением вида (б!ег), по крайней мере, если не предполагать, что все миноры второго порядка М' тождественно равны нулю.
Если же это так, то придем к тождеству
В >,2^1 — в.лн2 = О,
что снова является соотношением вида (б1ег).
Следовательно, не может случиться, чтобы все определители из таблицы Т тождественно обращались в нуль. Поэтому мы будем иметь, по крайней мере, одно соотношение (и, следовательно, систему инвариантных соотношений), которому должны будут удовлетворять все особые решения уравнений (1).
Можно было бы немедленно заключить, что все решения уравнений (1) не могут быть особыми.
Однако это не все; мы можем расширить наше определение особых решений.
Мы определили только что особые решения относительно д интегралов II{ уравнений (2), линейных относительно ? и соответствующих д инвариантам (линейным и первого порядка) уравнений (1).
Мы могли бы определить абсолютно таким же образом особые решения относительно любых д интегралов
В,, н2 нд
уравнений (2) и уравнений (2Ыз), полученных заменой 5 на ?'.
Эти интегралы должны быть однородными одной и той же степени как относительно ?, так и относительно ?'; это будут целые полиномы относительно этих переменных; однако они не обязательно линейны относительно 5; следовательно, они могут соответствовать интегральным инвариантам высшего порядка или интегральным инвариантам первого порядка, но нелинейным.
Кроме того, интегралы должны быть различными, т. е. они не должны тождественно удовлетворять соотношениям вида (6), (бЫв) или (б!ег).
Я скажу тогда, что частное решение 5 — особое, если для значений х, которые соответствуют этому решению, удовлетворяется соотношение (6).
Тогда мы будем иметь
Я, = 2 5*. А.
56
Новые методы небесной механики. III
где Ак — одночлен, образованный произведением определенного числа сомножителей Ец Ег, . . Е„, Е(, Еа- ? ? возведенных в подходя-
щую степень, а Вк { — алгебраические функции от х.
Кроме того, мы’ положим, как и выше,
В{ = + $2В{ 2 + ... +
и нам ничего не нужно будет изменять в предыдущих рассуждениях. Мы придем к тому же заключению.
Все особые решения относительно д интегралов Н( удовлетворяют одной и той же системе инвариантных алгебраических соотношений.
