Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
2 (2 хЛу — руйх),
которое входит под знак интеграла, становится полным дифференциалом. Это случай, когда р =—2, который имел бы место, если бы притяжение, вместо того чтобы подчиняться закону Ньютона, действовало обратно пропорционально кубу расстояния.
Тогда
^ 2 (2хйу — РУЛх) = 2 2ху.
Следовательно, У2ху есть полином первой степени относительно времени, и поскольку
2 2ху = 2 2тх ^ ^ 2 тх\
то выражение 2тх2 — полином второй степени относительно времени.
Это результат, к которому пришел Якоби в начале своих «Лекций по динамике».
Но, вообще
2 (2 хйу — РуЛх)
не есть полный дифференциал.
В частном случае ньютонова притяжения наш инвариант принимает
вид
^ 2 (2хйу 4- ус1х) — 3* (С1 — С0).
Построение инвариантов
51
Интегральные инварианты и характеристические показатели
257. Можно задаться вопросом, существуют ли другие алгебраические интегральные инварианты кроме тех, которые мы только что образовали.
Можно было бы применить либо метод Брунса, либо метод, который я использовал в главах IV и V; действительно, интегральные инварианты соответствуют, как мы это видели, интегралам уравнений в вариациях, и к этим уравнениям можно было бы применить те же методы, что и к самим уравнениям движения.
Но, может быть, лучше стоит видоизменить эти методы, по крайней мере, по форме.
Пусть дана какая-нибудь система дифференциальных уравнений
и их уравнения в вариациях
где выражение под знаком интеграла линейно относительно дифференциалов йх и где В — алгебраические функции от х.
Эти инварианты соответствуют линейным интегралам уравнений (2).
Итак, каковы условия, чтобы уравнения (2) допускали интегралы, линейные относительно ? и алгебраические относительно г?
Предположим, что переменным х даются значения, которые соответствуют периодическому решению с периодом Т. Тогда коэффициенты уравнений (2) будут известными функциями от t, периодическими с периодом Т, и из них найдется общее решение уравнений (2) следующего вида:
где ф<>Л— периодические функции от ?, ак — характеристические показатели, Ак — постоянные интегрирования.
Затем мы сможем разрешить линейные уравнения (4) относительно неизвестных и найдем
(2)
Ищем сперва интегральные инварианты первого порядка вида
(3)
(4)
(5)
гДе ~ периодические функции от І.
4*
52
Новые методы небесной механики. III
Следовательно, между Ц будет иметься п соотношений вида (5) и, кроме них, никаких других.
Если уравнения (1) и (2) допускают д различных интегралов, линейных относительно ? и алгебраических относительно х, то может случиться, что какие-либо иа этих д интегралов перестанут быть различными, если заменить в них переменные х значениями, которые соответствуют одному из периодических решений уравнений (1).
Каким же образом это может произойти?
Пусть
4% = + -®2,Л + ? ? • + — С'ОПчЬ (г'=1, 2, .. ., д)
— эти д линейных интегралов, где В будут алгебраическими функциями от х, которые будут соответствовать д интегральным инвариантам вида (3).
Они различны, т. е. между ними не существует тождественных соотношений вида
Р1//1 + В2Я2+...+(у7?=0, (6)
где коэффициенты р — постоянные, а также соотношений вида
№ + №+... +фвЯв=°, (6Ыз)
где ф — интегралы уравнений (1).
Возможно ли тогда, чтобы между ними выполнялось соотношение вида
+ 'Р2ДГ2 + ? ? • + = 0. (б1 е1')
где !р — произвольные функции только от ж?
Согласно п. 250, если бы подобное соотношение имело место, то отношения функций » должны были быть интегралами уравнений (1). Следовательно, мы имели бы
Фг Фг ‘ ‘ ‘ Ф5 ’
где ф — интегралы, и, следовательно,
ф1я1 + ф,я2+ ...
что противоречит предположению.
Итак, между не может существовать тождествепного соотношения вида (б1ег).
Однако если х даны значения, которые соответствуют частному решению, периодическому или непериодическому, то может случиться, что левая часть (6) тождественно обращается в пуль.
Тогда мы найдем, что уравнение (6), которое не удовлетворяется тождественно, .каковы бы ни были х, будет удовлетворяться, когда х будут
Построение инвариантов
53
заменены подходящим образом выбранными функциями от t, а именно, теми из этих функций, которые соответствуют частному решению.
Я назову особым всякое частное решение, для которого возникнет это обстоятельство.
При этом могут представиться два случая:
Либо все периодические решения уравнений (1) особые.
Либо не все они особые.
258. Рассмотрим особое решение ?.
Пусть
РАд + р25*,2 + ? • ? + — Бк,
откуда
+ вг12 + • ? ? + в?п = з 1н1 + р2//2 + ? • ? +
Поскольку соотношение (6) не выполняется тождественно, то не имеют место тождества
В1 = В2=...=Вп = 0, (7)
но так как соотношение (6) должно быть выполнено для решения 5, то эти соотношения (7) (согласно нашему предположению — алгебраические) должны удовлетворяться значениями х, которые соответствуют решению Б.
Пусть теперь
B'i=X1^-+X9-^- + ... +Хп^р-
1 1 dx1 1 - dx2 ” dxH
затем
В''.= Х1^- + Х21р- + ... + хп
* 1 dx-i “ dx2 ” ах
Очевидно, решение S должно удовлетворять соотношениям
B'f = 0 (i = 1, 2, . . ., га), (7bis)
затем соотношениям
