Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Пуанкаре А. -> "Избранные труды" -> 18

Избранные труды - Пуанкаре А.

Пуанкаре А. Избранные труды — Москва , 1972. — 359 c.
Скачать (прямая ссылка): izbrannyetrudi1972.djvu
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 111 >> Следующая

Л, Н, г, А’, Н', V,
X, А, С, X', А', С'.
Следовательно,
5 (ЛйХ + ЯйА + 2сК) + Л'йХ' + Я'сШ + Я'#') + 3* — С0)
будет инвариантом.
Если принять за переменные (см. п. 12)
Л, А', &, 5', р, р>, X, X', т], у, д, у,
функция Е будет однородной степени —2 относительно Л, ?, Т], р и д.
5 А. Пуанкаре, т. П
66
Новые методы небесной механики. III
Отсюда следует, что
5 2 (2ЛЙХ + Ыщ — + рд,д — дйр) + Ы (С, — С0)
— инвариант.
Знак 2 означает, что к каждому члену указанного вида следует присоединить член, получающийся из него приписыванием буквам штрихов. Так
2^7; = Ыт\ + .
Если, наконец, мы примем переменные из пунктов 131 и 137
Л, Л'; т,.,
X, Х';
то мы увидим таким же образом, что
5 [2ЛЛ + 2Л'йХ' + 2 (т^о. — 0(Л#)] +[6г (С1 — С0) будет инвариантом четвертого типа.
Замечание об инварианте п. 256
264. В п. 256 мы рассмотрели случай, когда х обозначают координаты п точек в пространстве, и уравнения динамики принимают вид
т (И* ~йх •
где V — однородна степени р относительно х.
Мы видели, что в этом случае
I = 5 2 $х<1у — ру<1х) + (р — 2) г (С1 — С0)
— инвариант четвертого типа.
Два частных случая заслуживают некоторого внимания. Предположим
р=2;
тогда приходим к равенству
/ = 2^2 (х(1у — Уйх),
и J — инвариант первого типа.
Это получается, в частности, когда предполагают, что несколько материальных точек притягиваются прямо пропорционально расстоянию. Тогда проверка чрезвычайно легка.
Построение инвариантов
67
Действительно, в этом случае имеем
х = A cos kt + В sin kt
и
у = —ткА sin kt + т\В cos Хг,
где X — абсолютная постоянная, в то время как A ml В — постоянные интегрирования, которые, вообще говоря, различны для различных пар сопряженных переменных. Тогда получаем
dx = cos ktdA + sin ktdB,
dy = —mk sin ktdA + ink cos ktdB,
откуда
xdy — ydx = mk (AdВ — BdA).
Это показывает, что
J —- 2X j ^m(AdB-BdA)
является инвариантом, поскольку время исчезло, и в нем фигурируют только одни постоянные интегрирования и их дифференциалы.
Пусть теперь р=—2; этот случай осуществляется, в частности, когда несколько материальных точек притягиваются обратно пропорционально кубу расстояний.
Тогда инвариант J превращается в
/ = 2^2 (xdy + ydx) — (Ci—Q-
Но количество под знаком интеграла — полный дифференциал выражения
S = Уху,
так что если обозначить через S0 и значения 5, соответствующие двум концам дуги интегрирования, то получится
J = (2S1-AC1t) + (2S0-AC0t).
Если мы, в частности, предположим, что один из концов дуги интегрирования соответствует частному положению системы, в котором п материальных точек находятся в покое и на очень большом расстоянии друг от друга, взаимные силы будут очень малы, так что скорости этих материальных точек будут оставаться весьма долго очень малыми, а расстояния — очень большими. Отсюда получается, что С0 будет нулем, так же, как и S0, и для всех значений t, как и для t=0, останется
J=2S1-4C1t.
5*
Построение инвариантов
69
Задачи
Ограничен- ная Плоская Общая Плоская приведенная Общая приведенная
Число степеней свободы Число пар (5bis), (5t,er) Число уравнений (lObis) Число уравнений (10t,er) Максимальное число воз- 2 1 1 1 4 2 2 2 6 3 4 2 3 2 1 1 4 3 1 1
можных инвариантов: первого типа второго типа третьего типа четвертого типа Максимальное число воз- 1 2 2 1 2 5 5 2 4 13 11 2 1 3 3 1 1 4 4 1
можных новых инва-
риантов: первого типа второго типа третьего типа четвертого типа 0 1 1 0 0 2 3 1 0 3 4 1 0 2 2 0 0 3 3 0
Глава XXIV ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ИНВАРИАНТОВ
Методы проверки
266. В томе II мы изложили различные методы нахождения рядов, которые формально удовлетворяют уравнениям задачи трех тел. Так как эти ряды могут иметь большое практическое значение и поскольку они получаются ценою длинных и трудных вычислений, то все средства, которые можно найти для проверки этих вычислений, могут оказаться ценными; рассмотрение интегральных инвариантов доставляет нам одно из таких средств, не лишенное интереса.
Обозначим через х. (i=l, 2, 3, 4, 5, 6) координаты двух планет (которые должны быть отнесены, как мы говорили в п. 11 и как мы всегда
делали с тех пор, первая — к Солнцу, вторая — к центру тяжести пер-
вой планеты и Солнца); обозначим также через yi компоненты их количеств движения; эти количества х( и yi могут быть разложены в ряды следующим образом.
Вспомним результаты глав XIV и XV и, в частности, результаты п. 155. В этих главах вместо двенадцати переменных х{ и у., которые я только что определил, мы употребили для определения положений двух планет двенадцать других переменных
А, Л', X-j, X}, Од, а2, Од, а4, т^, Tg, т^, т4.
Кроме того, мы ввели шесть аргументов
ыл,, w'v м?', м?з, м?',
полагая
Wf = iift -j- SJf.; w\ = n\t + 3't,
и шесть других постоянных интегрирования
A„, A?, а:'0, а:'0, х'3°, а:'0,
и мы видели, что можно удовлетворить уравнениям движения следующим образом.
Количества
А, А^, Xj ? н?2, Xj
Использование интегральных инвариантов
71
разложимы по степеням р. и х'Р. Каждый член периодичен относительно ш и ю’ и зависит, кроме того, от двух постоянных интегрирования Л0 и Лц.
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 111 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed