Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Сг=С0
6*
84
Новые методы небесной механики. III
и, следовательно,
/=сопз1.
В / выражение под знаком интеграла оказывается разложенным по степеням
А^, А^‘, . . ., Ачелк\
причем коэффициенты периодичны по оно зависит линейно от й+1
дифференциалов
(1А1, с1А2, . . ., <1Ак, йк.
Следовательно, мы должны иметь
2(2^ + у?9 = сошз1’
^(2хж + у-ж)==сопз1- (}
Левые части уравнений (2) оказываются разложенными по степеням А^‘; все члены этого разложения должны быть нулями, кроме свободного члена. Таким образом, получаем множество соотношений между коэффициентами разложения по степеням
Я ограничусь в качестве примера рассмотрением первого члена и напшпу
Х^Ае*1,
где и Zi периодичны по 2+й.
Отсюда выводим
у. = т,. [А'; + Ас'1 & + *г<)\,
Х\ и Z' означают производные от X. и
Тогда, пренебрегая все время членами с е2в/ и т. д., получим
2 (2х IX+у -й-)=2 ?|2Х {г'+аг)+х'2]-
Следовательно,
2 т (2ХХ' + 2лХХ + Х'Х) = О,
что дает первое соотношение между коэффициентами X. и Zl. Соотношение
^{2хж + уж) = м
доставит другое, которое, однако, в действительности не будет отличаться от первого, так как, комбинируя его с этим первым соотношением, мы нашли бы уравнение, которое является непосредственным следствием принципа живых сил.
Глава XXV
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
Возвращение к методу Болина
273. Прежде чем идти дальше, я должен дополнить некоторые из результатов глав VII, XIX и XX. Я хочу сначала резюмировать результаты, которые я буду сравнивать друг с другом и которые послужат мне сейчас отправным пунктом.
Мы видели в главе VII, что если система
= (/ = 1,2 п) (1)
допускает периодическое решение
X. = х° (2)
и если положить
то ^ будут разложимы по возрастающим степеням
А^1, А%еа‘(, .. ., Аие?*‘, (3)
причем коэффициенты будут периодическими функциями от А{ суть постоянные интегрирования, — характеристические показатели периодического решения (2).
Эти ряды всегда формально удовлетворяют уравнениям (1); они сходятся при определенных условиях, которые мы высказали в п. 105.
Имеется исключение в случае, когда между показателями а существует соотношение вида:
Т \/—-1 + 2 а? ~ а< = (4)
где коэффициенты (3 — целые, положительные или нули, коэффициент
7 — целый, положительный или отрицательный (ср. т. I, стр. 290, строка 7;
записывая это соотношение, я предполагаю, что единица времени была выбрана таким образом, чтобы период решения (2) был равен 2тс).
Если имеется соотношение вида (4), то ? не будут более разложимы по степеням количеств (3), а разлагаются по степеням этих количеств и
86
Новые методы небесной механики. III
Это как раз и происходит, если уравнения (1) имеют каноническую форму уравнений динамики.
Действительно, в этом случае два показателя — нули, а остальные попарно равны и имеют противоположные знаки.
В случае уравнений динамики [или в более общем случае, когда имеется соотношение вида (4)], мы опять-таки смогли получить известный результат; достаточно было придать постоянным интегрирования А частные значения таким образом, чтобы обратить в нуль те из них, которые соответствуют нулевому показателю, и одну из тех двух постоянных, которые соответствуют каждой паре показателей, равных и противоположных по знаку. [Более общб: мы уничтожим постоянную А, соответствующую одному из показателей, входящих в соотношение вида (4), таким образом, чтобы между показателями, соответствующими постоянным А, которые отличны от нуля, не существовало соотношения этого вида].
Например, если
а1=а2 = 0, «3 = — К4> Я5 = —1*6. К„-1 = —1(« — Четно)
то положим
А1 = А2 = О, А3 = О, А- = 0, . . ., А„_! = 0.
Тогда ? опять будут разложимы по степеням тех количеств (3), которые отличны от нуля; только теперь мы не будем иметь больше общего решения уравнения (1), а получим частное решение, зависящее от меньшего чем п
/ п — 1 ^ „ \
I а именно, —^— в оощем случае уравнении динамики) числа произвольных постоянных.
Вот каким образом мы пришли к асимптотическим решениям: мы исходили из уничтожения определенного числа постоянных А, не только тех, которые приравняли нулю по причине, о которой я только что говорил, но и тех, которые мы должны уничтожить, чтобы удовлетворить условиям сходимости п. 105.
Я не занимаюсь в настоящий момент разлоягением % по степеням ц. ИЛИ \J\i- •
В главе XIX я изучил метод Болина, который, в сущности, является только приложением метода Якоби, поскольку задача сведена к разысканию функции Б, удовлетворяющей уравнению в частных производных. Только эта функция берется в виде, который специально приспособлен к случаю, когда между средними движениями имеется приближенное линейное соотношение с целыми коэффициентами. Случаи, которые должны нас интересовать больше всего, близки к тому, который я назвал предельным случаем (п. 207). Мы видели в этом параграфе, что функция ? разложима по степеням \/;а в виде
Интегральные инварианты и асимптотические решения
87
и что
йуь
периодична с периодом 2 тс относительно
1/2’ Уз’ • • Уп
(если принять обозначения упомянутого параграфа).
