Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Суммирование, указанное знаком 2, распространено на п (и—1Н2 сочетаний индексов ? и к.
Аналогично, интеграл
J 2 dijdyfabdijidxfly,,
где суммирование распространяется на п (и—1)(и—2)/6 сочетаний трех индексов г, к и I, опять будет инвариантом, и т. д.
Таким образом, мы получаем п интегральных инвариантов, если мы имеем п пар сопряженных переменных; один из этих инвариантов —
Построение инвариантов
второго порядка, /г — четвертого, /3 — шестого, . . . , последний — порядка 2п.
Однако не следует думать, что эти инварианты все различны. Действительно, в конце п. 247 я сказал, что всегда можно вывести из одного инварианта второго порядка один инвариант четвертого порядка, один инвариант шестого порядка и так далее. Инварианты /х, /2, . . . , /в, которые я только что определил, — не что иное, как инварианты, которые можно вывести подобным образом из первого из них.
Эти инварианты можно связать с рассуждениями из другой области; в начале стр. 149 тома I я показал, как можно вывести теорему Пуассона из интеграла (3) на стр. 147, или, что сводится к тому же, из интегрального инварианта
Оперируя таким же образом с инвариантом /2, мы нашли бы теорему, аналогичную теореме Пуассона.
Пусть
ф ф ф ф > 1> 21
— четыре интеграла уравнений динамики.
Пусть
Д<, *
— якобиан этих четырех интегралов относительно
*<. Ун хк> У*-
Выражение
где суммирование распространено на все сочетания индексов I, к, будет опять интегралом.
Мы пришли бы к аналогичной теореме, исходя из какого-нибудь из инвариантов J3, /4, . . . , /в.
Но согласно сделанному мною только что замечанию, все эти теоремы фактически не отличаются от теоремы Пуассона.
Однако среди этих инвариантов имеется один, которому следует придать большее значение, — это последний из них
/в = ^ йх1йу^х2^у2 . . . <}хп(1уп.
Его можно было бы получить по способу, изложенному в предыдущем пункте; действительно, известно, что уравнения динамики допускают в качестве последнего множителя единицу.
256. Теперь я предполагаю, что х означают прямоугольные координаты п точек в пространстве, и возвращаюсь к обозначениям стр. 149 I тома.
Новые методы небесной механики. III
Ми нашли (стр. 150) следующий интеграл уравнений в вариациях
2-?-24rE=const-
Соответствующий интегральный инвариант записывается в виде
S 2(^-4»-
Аналогично, интегралу
2 71,., = const
соответствует инвариант
j (dylf, + dyJj2 + . . . +dylJ;
интегралу
2.- (ям'ъ.,- — глЛ,< — + !/*,&,t) =co,lsL
соответствует инвариант
J 2 — yltidx2ii — x2itdylit + y^'tdx^).
Однако все эти инварианты не представляют большого интереса, так как их можно непосредственно вывести из интегралов живых сил, центра масс и площадей.
Этого нельзя сказать о последующем инварианте, который существует, если функция V является однородной относительно переменных X.
Мы видели в п. 56, что если V — однородная функция степени —1, то уравнения в вариациях допускают интеграл
+ const,
2 + ». А.) = 3‘ [2 (?-7^715*.
или, опуская индексы,
2(2хп+у1) 1=3 3* 2 - ^ 0+соп!51 ?
Вообще, если V — однородная функция степени р, то тем же способом получим следующий интеграл:
2 (2хЧ ~~ Р№ = (2 — Р')1 2 ("^~ 17 0 + вопя**
откуда имеем интегральный инвариант
/ = | '2^(2xdy — pydx)-{-(p — 2) I $ 2
Построение инвариантов
49
— инвариант совершенно особого характера, поскольку он зависит от времени.
Второй интеграл можно записать в виде
следовательно, это интеграл от полного дифференциала, и легко видеть, что
— не что иное, как постоянная зкивых сил, которую я обозначу через С.
Инвариант / — первого порядка; следовательно, это интеграл, взятый вдоль дуги некоторой кривой.
Пусть С„ и Сг — значения постоянной живых сил па двух концах этой дуги.
Эта дуга представляет собой фигуру, обозначенную нами в предыдущей главе через ^0; когда эта фигура деформируется, превращаясь в то, как я объяснил в предыдущей главе, С0 и С1 не изменяются.
Отсюда вытекает, что мы имеем
не останется, следовательно, постоянным, когда фигура Р (которая сводится здесь к дуге кривой) деформируется; но его изменения пропорциональны времени.
Интеграл этот постоянен, если оба конца дуги соответствуют одному и тому же значению постоянной живых сил.
В частности, он также постоянен, если дуга кривой замкнута. Следовательно, этот интеграл есть то, что я назвал в предыдущей главе относительным инвариантом.
Но если предположить дугу кривой замкнутой, то под знаком интеграла можно добавить любой полный дифференциал, не меняя величины интеграла; например, прибавить
Интеграл
1 ~ | 2 (2хЛу — руйх) + (р — 2) ? (С1 — С0). ^ 2 (2хйу — руйх)
2 №у + у<1х)
с любым постоянным коэффициентом.
4 А. Пуанкаре, т. II
50
Новые методы небесной механики. III
Таким образом, интегралы
^ 2 УАх, ] 2 хйу
— также относительные инварианты.
В п. 238 мы видели, что из относительного инварианта первого порядка можно вывести абсолютный инвариант второго порядка. Инвариант второго порядка, получаемый таким образом, есть не что иное, как
Л = $ 2 Лхйу,
который мы изучили выше.
Существует случай, когда выражение
