Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Но результаты могут быть упрощены заменой переменных, изложенной в пунктах 209 и 210.
Я определил в п. 206 л+1 функций
?Ц, С, 6(,
периодических относительно переменных
У 2’ У з> ? • Уп’
эти функции я рассматривал как обобщения периодических решений. Мы положили затем в п. 210
Х! — х[ + 11, у[ = у1 — ^ у\ = у{ («>!),
, , п , , с1г , ЙС
Ъ=х< + Ъ + У1-%
С новыми переменными х\, у\ уравнения сохраняют каноническую форму; только новые уравнения будут допускать следующие инвариантные соотношения:
х[ = х< = 1/1 = 0,
которые можно рассматривать как обобщения периодических решений для новых уравнений, так же как
*1 = У- У1 = С, х{ =
— для старых.
Мы можем, следовательно, без ограничения общности предположить, что канонические уравнения допускают в качестве инвариантных соотношений
Х1 = = У1 = 0.
Если это так, то мы видели в п. 210, что ух=0 является простым нулем ДЛЯ производных (1ЭИ ДВОЙНЫМ нулем ДЛЯ производных (1Б /(1У( (I > 1).
88
Новые методы небесной механики. III
Таким образом, ? или точнее 5—50 может разлагаться по степеням ух, и разложение будет начинаться с члена второй степени; мы будем иметь
^ = ^о + 22^+23г/'1 + 24г/1+ • ? - (5)
где 2 — ряды, зависящие от у2, У3, ???, у„ и разложенные по степеням \/а ; кроме того, МЫ ВИДИМ, ЧТО 2 — периодические функции от у2, у3, . . уп. Но этого, к сожалению, для кашей цели недостаточно.
Функция 5, определенная уравнением (5), зависит, в действительности только от п—1 произвольных постоянных
•7«0 л^О л*!)
и'21 3’ • • •>
в то время Как для полного решения задачи их необходимо иметь п.
Для более углубленного исследования обратимся к замене переменных п. 206. Если примем обозначения этого параграфа, т. е. если положим
_ _ 1 Г _ _.. У1 АВ
*1— 2 3 5 А йх\
если определим, как в упомянутом параграфе, переменные х\, иг, v1, функции Т и У, то производные У по V! и 2( будут периодическими функциями [ср. т. II, стр. 645. ]
Исследуем более подробно уравнения в начале стр. 646 (т. II), которые записываются в виде
г/1 =9 К. г/2. г/3> ? • - г/»).
хл = ^к(у1’ г/21 Уз' ?? ?> Уп)’
затем, считая у2, у3, . . ., у„ постоянными, рассмотрим, как в названном параграфе, уравнения
Ух = 6 (^)> *1 = ’1 (их)-
Если мы заставим меняться щ, точка (жд, ух) опишет кривую, которую я хочу изучить. Предположим, что мы, не меняя постоянных х[„ х'3,
. . ., х'п, заставим меняться х[; получим бесконечное множество кривых,
соответствующих различным значениям х[.
Выше мы предположили, что имеем инвариантные соотношения
Хх = х< = у1 = 0,
которые являются как бы обобщением периодических решений.
Этим соотношениям будет соответствовать точка
ж1=г/1=0>
т. е. начало координат. Именно в окрестности этой точки я буду изучать наши кривые.
Интегральные инварианты и асимптотические решения
89
Дадим х[ значение, которое соответствует частной функции ?, определенной уравнением (5); получим
хх = 2 У\ + 3 2з У\ +
Следовательно, соответствующая кривая проходит через начало; мы получили бы вторую кривую, проходящую через начало, заменяя на —\/и-
Следовательно, имеем две кривые, пересекающиеся в начале; другие кривые смогут пройти вблизи начала, не достигая его и не пересекаясь друг с другом; множество кривых будет напоминать по своему общему виду в непосредственной окрестности начала фигуру, образованную рядом гипербол, имеющих одни и те же асимптоты, и их асимптотами.
274. Для того чтобы лучше изучить эти кривые и соответствующие функции 5, ограничимся сначала случаем, когда имеются только две степени свободы.
Допустим, что мы сделали замену переменных п. 208, так что
х1 = хя = у1 = 0 — периодическое решение; это означает, что для
Х1 ~ хч = У г = 0
имеем
йР йР с1Р д
Лу 1 ^У2
Разложим Р по возрастающим степеням хъ х2 и у1. Член степени 0' будет зависеть только от уъ и так как мы должны иметь
" :0,
<1У2.
то он сведется к постоянной. Так как Р определена лишь с точностью до постоянной, то можно предполояшть, что этот член нулевой степени есть нуль.
Будем искать члены первой степени; так как
^ йР
? о,
то не будет других членов первой степени, кроме члена с х2. Положим теперь
х1 = ех[, у1 = еу[, х2 = е2х!,, у2 = е2у'г Мы видим, что Р делится на е2 и что если положить
?90
Новые методы небесной механики. III
то уравнения сохранят каноническую форму и станут
йР' /1у'( <1Р' ...
(11 ~ • <И ' Лх\ ' ' '
Кроме того, Р' будет разлагаться по степеням е в виде
с другой стороны, Р' будет разлагаться по степеням х\, х[, у[, причем коэффициенты будут периодическими функциями от у2 . Наконец,
^0 = Нх2 + Ах’2 + 2 Вх\у[ + Су'2,
где Н, А, В и С — периодические функции у,.
Применим сейчас к нашим уравнениям один метод, аналогичный методу Болина, в котором параметр е будет играть ту же роль, которую в главе XIX играл параметр р.
Отбросим штрихи, ставшие ненужными, и будем писать х(, у(, Р, Р. .вместо х\, у\, Р', Г..
Прежде всего, я утверждаю, что всегда можно предположить
Н=1.
Если бы, в самом деле, это было не так, то я взял бы за новые переменные
х\ = Нхг, У\=\^.
Каноническая форма уравнений не изменилась бы, поскольку
