Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Возьмем снова интегральный инвариант
5 2
и распространим интегрирование на часть этого асимптотического многообразия V.
Другими словами, предположим, что все системы значений х( и у(, которые входят в область интегрирования, удовлетворяют инвариантным соотношениям.
Я говорю, что интегральный инвариант будет нулем.
Мне достаточно доказать, что
2 (оя.-о’у. — Ьу.8'ж,.) = 0,
а это очевидно, ибо мы имеем
Ак = 0, С = С0,
откуда
ЬАк = 0, 6С = 0,
8'ЛЙ = 0, 8'С = 0,
что показывает, что все выражения (4) обращаются в нуль. Равным образом мы смогли бы сделать
С = С0,
Ак=^=0, Ак = 0 (для вещественных ак),
Ак ~ Ак — 0 (для мнимых ак).
110
Новые методы небесной механики. III
Мы получили бы новый ряд асимптотических решений и, следовательно, новое асимптотическое многообразие, к которому прилагались бы те же заключения.
То, что мы сделали для инварианта (2), можно было бы сделать для любого билинейного инварианта (инварианта третьего типа п. 260), т. е. вида
(5>
где В — функция х. и у. и где под знаком 2 один или два из дифференциалов йх^ с1хк могут быть заменены на (1у{ или йук.
Выражение
2 В (Ъх$'хк — ахкЪ’х()
снова было бы линейным относительно количеств (4). Это применимо также к квадратичному инварианту (инварианту второго типа п. 260) вида
В<1Х;<1Хк, №)
где В — функция х. и у; и где под знаком 2 один или два из дифференциалов йх{, йхк могут быть заменены на <1у., dyk.
Мы можем увидеть, что выражение
2 ВЬхЪхк
должно быть линейным относительно выражений
ЪА^А'к,
А'кА\ЪАкЪА,,
А'М^С, <4Ы“>
ЪСЛ
и тех, которые можно вывести из них перестановкой Ак иА'к, А^ и А\.
Для всякого асимптотического многообразия как инвариант (5), так и
инвариант (6) должны обратиться в нуль.
Другой способ анализа
280. Изучение этого же вопроса может быть продвинуто, если несколько видоизменить рассуждения.
Предположим, например, что мы имеем дело с задачей динамики, что х1 — координаты различных материальных точек системы и что сопряженные переменные у( — составляющие их количеств движения.
Интегральные инварианты и асимптотические решения
ни
Мы изучим интегральные инварианты, алгебраические относительно х{ и у{, и посмотрим, могут ли существовать другие, отличные от известного, который записывается в виде
Мы видели, что в окрестности периодического решения х( и г/< могут разлагаться по степеням Ае"‘,. . . . Рассмотрим сейчас снова эти разложения. Мы можем предположить, что значение постоянной живых сил, которое соответствует периодическому решению, есть нуль, так что разложение будет вестись не только по степеням Аено еще и по степеням С. Кроме того, они будут зависеть от
Приравняв х< и у( этим разложениям, получаем 2п уравнений, которые-разрешим относительно АеС и Получим
Акеч‘ = и,
С = Ф (7>
“о* + Ро= ???(*+ ^) = ®-
Заметим, что а„, как и «к, разлагается по степеням С и АкА'к; мы видим,, что /*, /;, Ф, соз8, аш0 — однозначные функции х( и у( в окрестности периодического решения. Более того, х< и у{ могут быть [разложены по степеням $к1 ]'к и Ф и по синусам и косинусам кратных 0.
С другой стороны, выражение (3) п. 278
2(Вя(8 'у{ — Ъу?'х(),
которое соответствует инварианту (2) или аналогичным выражениям, которые соответствовали бы другому билинейному инварианту вида (5)г должны быть разложимы по степеням /,., /;, Ф и билинейны относительно
3/*, 3/;. 8Ф, 80, 87*. 37;. З'Ф, 8'0.
Кроме того, когда мы заменяем в нем величины ]к, Ф, 0 их значениями (7), это выражение должно стать независимым от Ь. Но время t могло бы туда войти тремя способами: 1) в экспоненциальной форме;.
2) в виде косинуса или синуса кратных (4+Д); 3) вне знаков показательной и тригонометрических функций (и, как мы это сейчас увидим, самое большее во второй степени).
Оно не должно войти пи одним из этих способов.
112
Новые методы небесной механики. III
1. Для того чтобы время не входило в экспоненциальной форме, необходимо и достаточно, чтобы это выражение было линейным относительно ?следующих величин, аналогичных (4):
где коэффициенты разлагаются по степеням }к, }'к и Ф.
2. Для того чтобы I не входило в тригонометрической форме, необходимо и достаточно, чтобы наше выражение не зависело от 0, а только от его вариаций 80, 8'0.
3. Нам остается определить условие того, чтобы I не входило туда вне знаков показательных и тригонометрических функций. Заметим, что мы имеем
Будем различать в нашем выражении члены пяти видов в зависимости от того, будут ли они содержать множителем одну из величин, фигурирующих в первой, второй, третьей, четвертой или пятой строке таблицы (8).
При этих условиях, если мы заменим 8/Л,. . . их значениями (9), увидим, что члены пяти видов будут содержать множителем соответственно:
Мы видим, что время могло бы войти во второй степени.
Заставим сначала исчезнуть члены с ?2; они могут произойти только от членов второго и четвертого вида.
Я говорю, что коэффициент при
Ш*8'Ф-87*8Ф), /;(5/*8,е-87*8в),
(8)
8ф8'0 —8'Ф80,
8/& — (8Л + Лг8я*)>
Ь}к=е^к1(ЬА’к — А’к^а.к),
8Ф = 8С, 80 = 8р0 + <8а0.
(9)
(?10)
