Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Пуанкаре А. -> "Избранные труды" -> 25

Избранные труды - Пуанкаре А.

Пуанкаре А. Избранные труды — Москва , 1972. — 359 c.
Скачать (прямая ссылка): izbrannyetrudi1972.djvu
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 111 >> Следующая

Тогда мы имеем в качестве решения канонических дифференциальных уравнений следующие уравнения:
где и а2 — две новые постоянные интегрирования. Прежде всего, я вижу, что пх и п2, которые зависят, между прочим, от а0 и (30, разложимы по степеням е.
“1 = Рі = 0.
йС
Ж'
Интегральные инварианты и асимптотические решения
9&
С другой стороны, ? можно разложить по степеням е И при Е=0 Я имею’ в качестве первого приближения
Мы имеем четыре уравнения, из которых можно найти х2, и, у2 и и, раЗЛОЖеННЫе ПО Степеням е И ЗаВИСЯЩИе, Кроме ТОГО, ОТ а0, (3„,
С помощью рассуждения, совершенно аналогичного проведенному в: п. 127, мы увидели бы, что
Я мог бы даже добавить, что все эти количества разложимы по степеням
Х2, и. г/2 — (п11 + “>1). V — К* + аг)
разложимы по степеням
Кроме ТОГО, то же будет для \/и, и уг.
е, я0, е* , \/р0е("2<+ад,
в самом деле, 5—50 разлагается по степеням
е, а0, е±1у\ ^р0ег, у/рое-'.
±»(*Ы+81)
Если мы положим на мгновение
у2 — (пхг + 3:) = г2, и — (га2/ + а2) г3,
то два уравнения
примут вид
22 = еФ2» 23 ~ е^1-
(?Ч>
причем ф2 и фз разлагаются по степеням
е, я0, е44"1*4®0, ^М",'+*и, \/Р>ЧМн5Ч г2, 23;
?96
Новые методы небесной механики. III
[в самом деле, мы имеем, например,
^ -Д-+1-|7у + . . .)
и аналогичные формулы для и \/рое_']*
Тогда для доказательства высказанного предложения достаточно приложить к уравнениям (3) теорему п. 30.
Сравним теперь полученный результат с результатом главы VII, который я упоминал в начале настоящей главы.
В главе VII мы видели, что в окрестности периодического решения
х1=у1=х2=0
переменные хи у1г х2, уг разлагаются по степеням
в±<.(«М), А,е-«'2г и ^
где А, А' — постоянные интегрирования; га' и га' — абсолютные постоянные, зависящие только от периода периодического решения и его характеристических показателей.
Мы только что видели, что эти же переменные должны разлагаться по степеням
е±,("1<+а!‘), у/Р0е0,,1+а,). \/рое_С"’<+ад-
Очевидно, оба результата находятся в согласии; действительно, можно сначала положить
А = ^об3», А' = ^Вое-0г.
С другой стороны, га* и га2 — постоянные, которые разлагаются по степеням е, а0 и [30 и сводятся к п[ и га' для е=а0 = [30=0.
Тогда мы можем, например, написать
а затем разложить второй сомножитель по степеням е, а0, [30; тогда этот второй сомножитель окажется разложенным, кроме того, по степеням ?.
Вот почему мы видели в главе VII, что время ? и его степени выходят из-под знаков показательной и тригопометрических функций, что могло в определенных случаях создать трудность; предыдущий анализ показывает, что эта трудность была чисто искусственной.
Если я хочу теперь сравнить наш результат с результатами главы XIX, я рассмотрю кривые
г/1 =0 М. *1 = ^ (и,),
Интегральные инварианты и асимптотические решения
97
определение которых я упоминал в конце п. 273. Для того чтобы получить уравнения этих кривых, я должен только взять выражения хх и ух и дать в них величинам а0, [30, тг1?-]-Э1 постоянное значение. Тогда ух и хх разлагаются по степеням
Изменяя «2?+Э2, мы видим, что кривые имеют форму, которую я описал в конце п. 273.
В заключение я напомню, что все результаты верны лишь с формальной точки зрения; ряды сходятся только в случае асимптотических решений, уравнения которых получаются, если положить
Ро = 0» Э2 = -|-со,
что означает
\/^еа* = И, у/^=0,
или же если положить
?о = 0, Э2 = —03,
что означает
\/Ро601 = °» '/Рое_3* =
где А и А' — конечные постоянные.
276. Перейдем к случаю, когда имеется более двух степеней свободы. Предыдущие результаты могут быть обобщены двумя различными способами.
Для того чтобы пояснить это, нам достаточно предположить три степени свободы. Может оказаться, что мы хотим изучить уравнения в окрестности системы инвариантных соотношений
х1=х2=х3—у1=0,
играющих роль обобщения периодических решений в смысле п. 209.
Может оказаться также, что мы хотим их изучить в окрестности истинного периодического решения
X1 — X 2 = X з=у 1 = у 2 = 0 •
В первом случае имеется четыре инвариантных соотношения и одно линейное соотношение между средними движениями, соотношение, которое мы взяли, употребляя в случае надобности замену переменных п. 202, в виде
«1=0.
7 А. Пуанкаре, т. II
98
Новые методы небесной механики. III
Во втором случае имеется пять инвариантных соотношений и два линейных соотношения между средними движениями, которые мы взяли в виде
и1=0, п2=0.
Начнем с первого случая и положим
Р = егР1; х1 = еж', уг = еу', х2 = е2х'2, х3 = ?%;
уравнения остаются каноническими, а Р' становится разложенной по степеням е в виде
К тому же имеем
Ро — й2а:2 Н3х3 Ах'2 + 2Вх1у1 -(- Су’2,
или, отбрасывая штрихи, ставшие ненужными,
Ро = ^2 + !гзхз + Ах\ + 2Вх)У1 + Су\.
Функции /г2, А3, А, В, С зависят только от у2 и у3 и периодичны по этим двум переменным с периодом 2т:.
Я произведу сейчас снова замены переменных п. 274; все, что я сказал там о них, остается верным, но только с формальной точки зрения.
Для того чтобы применить принципы формального вычисления, необходимо, чтобы имелся параметр, по степеням которого выполняются разложения. Здесь это будет параметр р.
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 111 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed