Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
В самом деле, Р и, следовательно, к2, к3, А, В, С разлагаются по целым степеням р. Я добавляю, что при р=0 В и С обращаются в 0 и что 1г„, к3, А сводятся к постоянным, которые я называю Щ, и А0.
Постараемся проинтегрировать следующие уравнения:
?#?=-**• #=-*»? (>) Я стремлюсь выполнить интегрирование таким образом, чтобы
У2 — У» Уз —Уз
были периодическими функциями с периодом 2и от двух новых переменных у2 и у', которые сами должны иметь вид
Уг = ^2^ Ч" ®2> Уз == п3* “Ь ®3>
п2 и п3 — постоянные, разлагающиеся по степеням р; Э2 и Э3 — постоянные интегрирования.
Интегральные инварианты и асимптотические решения
99
Тогда уравнения (1) принимают вид
dV2 , „ di/2 г, - йУя I „ аУя
«2 --------------------------------------
Положим
ht = /г® + [х/гО) + + .. .,
Уг = y°i + Wp1 + ^У{Р + ? ? ? •
nt = п°. -j- р-гаФ + + • ? •
и предположим, что UV— постоянные; что UV— периодические функции у2 и г/3 (AJ сводятся, как мы это видели, к постоянным) и, наконец, что i/V — периодические функции у' и у', за исключением у®, которые сведутся к у'..
Приравняем в уравнениях (2) коэффициенты при одинаковых степенях р. и получим последовательность уравнении, которые позволят определить y[V и n[V одни за другими.
Эти уравнения записываются так:
du о dyO
"2 dy'2 d?,' dyi +»3 dy' - * (3)
dl/(2) du(,2) dyO
и® -j-v- + и® -тЛ- + n<?> -r-^ + -r-т- — Ф,
2 dy2 ~ 3 dy3 1 - dy2 1 з dy3
Я обозначаю через Ф всякую известную функцию; во втором уравнении я считаю известными у(0) и UV; в третьем — yf\ y[l\ n[V и и так далее.
Сначала мы имеем
У° = У«> У° = Уз, «® = — А®, п® = — А®,
так что уравнения (3) приводятся к
duO) duU)
я!ж + я°'Ж + я*) = ф’
du(2) dj/H (3bis)
»8^- + »8тй- + л?ч = ф-
к которым неооходимо присоединить уравнения
dy (О dj/t1)
-^ + П“^- + 41) = Ф. (31ег)
7*
100
Новые методы небесной механики. III
выведенные из второго уравнения (2), как уравнения (ЗЫэ) из первого уравнения (2).
Все эти уравнения будут интегрироваться одним и тем же способом; возьмем, например, первое уравнение (ЗЫэ). Функция Ф, которая входит в него (как, впрочем, все другие функции Ф), периодична по у'г и у'3. Приравняем пр среднему значению этой функции и нам будет легко затем, пользуясь методикой, которую мы применяли уже столько раз, удовлетворить уравнению функцией у^\ периодичной по у'2 и у'3. Определив таким образом у2 и у3 в функции у'2 и у'3, я полагаю
— _ ^Уг. д. т
— х2 -1- хз ау'2 .
т' __ г ЛУ2 I т
хз — хг хз ау'з ?
Ясно, что выражение
Х'АА + х'^Уъ — х2аУ2 ~ хзаУз'
равное нулю, есть полный дифференциал и, следовательно, каноническая форма уравнений не изменится, когда мы возьмем за новые переменные х2, х3, у2, у3 вместо х2, х3, у2, Уу
Вид функции Р также не изменится, но мы видим, что имеем тождественно
^2^2 ^2^3---^2^2 “Ь ^3Х3'
что показывает, что коэффициенты при х'2 и х3 сводятся к постоянным. Итак, я всегда могу предположить, что Ь,2 и Ь,.3 — постоянные.
Это я и буду делать впредь.
Пусть теперь необходимо проинтегрировать уравнения ^ = 2(Вх1 + Су1), ^- = -2(Ах1 + Ву1),
или, что то же [7]
А.^+А>-^=-2<»'.+ад-
Постараемся удовлетворить этим уравнениям, полагая
хх = еа*г, уг--е*‘з, где а — постоянная, г и а — периодические функции у% и у5.
(4)
Интегральные инварианты и асимптотические решения
101
У равнения станут
dz • I dz dy2 3 dy3 ds I , ds
h*-?7 + hs-?r-as = 2(Az + Bs).
(4 bis)
Разложим А, В, С по степеням р. в виде
А =А0 + рА2 +...,
В = В0-\- у.В2 + ...,
С = С0 4- рС2 + ....
Заметим, что А0 — постоянная и что В0 — С0 — 0. Разложим таким же образом h2 и А3
h{=h°. + p.h)+-------
Коэффициенты этих разложений — известные количества. Разложим, с другой стороны, неизвестные z, s и а по возрастающим степеням \/р в виде
а = а1 Vp- + а#. + а3р \/р + ? ? ?>
Z = z1 vV + 22[А + z3p v/p. + ? •.,
S = S0 + S1 \/P + ^ +
Чтобы представить уравнения в более симметричной форме, я запишу разложение А в виде
A = A0 + A1\Ii>. + А2 р + -43р у/р + + • • • •
Надо будет только помнить, что Av -43, i4?, ...—нули. То же — для разложений В и С.
При этих предположениях я приравниваю в уравнениях (4bis) коэффициенты при одинаковых степенях р. Я назову (4bisp) два уравнения,
?+1
полученные приравниванием, с одной стороны, коэффициентов при р. -
в первом уравнении (4bis) и, с другой стороны, коэффициентов при р2 во втором уравнении (4bis).
Уравнения (4bis0) и (4bis 1) определят а1г s0 и z2; уравнения (4bisl) и (4bis 2) определят я2, и z2;
уравнения (4bis2) и (4bis 3) определят а3, s2 и z3;
и так далее.
Я хочу показать, что уравнения (4bis р) определят sp и zp+1 с точностью до постоянной, что они определят ар и завершат определение s^
102
Новые методы небесной мех чики. III
и гр, которые нам стали известны из (4Ыб р - 1) только с точностью до
постоянной.
Если мы вспомним, что
В0 = В1 = С0 — Сг = 0, то увидим, что уравнения (4ЫбО) записываются
2 <*02 1 3 ^г/з
/го ^?о_ + /го ^?о_ = о 2 1 йу3
уравнения (4Ыз1) записываются
уравнения (4Ь1э 2) записываются
Н* ^ ^ ~ аЛ - ПА = ~2В^ - 2СА - 2С^ + Ф> + _ вА _ “А = 2А°Ч + 2Л'21 + 25Л + Ф'
