Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
/ — 3t (Сх — С0)
* Как показывает дальнейшее изложение, для него выполнены условия п. 238. {Прим. ред. перее.).
Использование интегральных инвариантов
75
(где С0 я Сг — значения постоянной живых сил на двух концах дуги ^0) есть интегральный инвариант. Следовательно, будем иметь
ибо постоянная живых сил С — функция только от п{.
Уравнения (4) и (5), следовательно, должны быть заменены следующими:
А и В должны быть периодическими функциями ю.
Если мы поступим с уравнениями (4Ыз) и (бЫв) так же, как поступили с уравнениями (4) и (5), то снова найдем:
1) что В. не зависят от ю\
2) что А{ не зависят от ю;
3) что
Итак, мы находим окончательно
не зависят от т и являются функциями только либо ?, либо п, в зависимости от того, выражено ли все в функции 5 и т или в функции пят.
(7)
Если мы опять положим
7=^2 (Аі'йп,, +
то уравнение (7) примет вид
(4Ьів)
(5Ьіб)
2 (2х<1у + у<іх) - 2 А((1п{ + 3 2
где А{ зависят только от п(. Другими словами, выражения
или
(8)
76
Новые методы небесной механики. III
Таким же образом будем иметь
(9>
я,., у{ и С разложены, как я сказал, по степеням р. и х'9. Выражения (8) и обе части равенств (9) также, следовательно, разложимы по степеням этих количеств.
Все члены разложений выражений (8) по степеням р и я'.0 должны, следовательно, быть независимыми от ш.
С другой стороны, каждый член разложения левой части (9) должен равняться соответствующему члену правой части.
Мы имеем, таким образом, очень большое число способов проверки наших вычислений.
268. Я сказал, что
— полный дифференциал, если считать постоянными, а ю — независимыми переменными.
Действительно, мы тогда находим
5 2 (2 +у<1х)=3 5 2 ё
или, так как йС/йп,. зависят только от 5 и, следовательно, должны быть рассматриваемы как постоянные, то
| ас
( 2*2хЛу + уЛх) = 32^ш<’
откуда
5 2*^+1 2(*d^/+г/da:)=32S;I^,<,
откуда, наконец,
)2^ = 32ё;-ы?'"'2а:г/- (10)
Вернемся на мгновение к обозначениям п. 162, В этом пункте, как и в п. 152, мы взяли за переменные
Л, Л', о.,
X V т - (И)
Л11 Л1»
мы положили
<18 = (Л - л0> 0) ЙХ5 + (Л' - Ло.о) а; + 2301*, - <2 (05. \).
Использование интегральных инвариантов
77
С другой стороны, переменные (11) так же, как и переменные х., у(, являются сопряженными переменными. Отсюда вытекает, что, как мне случалось несколько раз объяснять, выражение
— Ad\ — А! = dU
есть полный дифференциал. Я прибавлю, что мы легко образуем функцию U, которую, следовательно, можно считать известной функцией xi и 2Л-
Тогда имеем
S = 3^iWiW<-^xy-U-Ao.o\- Ло,оХ; - о». (12)
Так как при приложении методики главы XV мы пришли к построению функции S, уравнение (12) доставляет в новом виде искомую контрольную формулу.
Связь с одной теоремой Якоби
269. Известно, что Якоби в начале своих «Vorlesungen ?ber Dynamik» доказал, что в случае ньютонова притяжения среднее значение кинетической энергии равно с точностью до постоянного множителя среднему значению потенциальной энергии при допущении, разумеется, что координаты могут быть выражены тригонометрическими рядами того же вида, что и ряды, которые мы здесь изучаем.
Эта теорема Якоби непосредственно примыкает к предыдущему. Уравнения движения могут быть записаны следующим образом:
dx: du{ dV
mi~dt—y*' ~dt~dT{’
откуда
Тогда — V представляет собой потенциальную энергию, С — полную энергию, а
2 Ж
2т,
— кинетическую энергию.
С другой стороны, так как функция V однородна степени —1, мы будем иметь
т, V1 _
78
Новые методы пебесной механики. III
Уравнение живых сил можно, следовательно, записать в виде
С другой стороны, возьмем снова уравнения (9) п. 267 и просуммируем их после умножения соответственно на пк; получим
2< О2**- 2*'+?2*п* &*)= 3 2*'п^..?
Замечая, что
2<1х 6х
<1и>к (1ь
I йШ). \
(поскольку -^? = пк 1, заключаем, что
2(**3н-*39=*2..?..
Сравнивая с уравнением живых сил, находим
кс1пк~ 3
это показывает, что С должна быть однородной степени 2/3 относительно пк, что можно было бы увидеть, впрочем, непосредственно. Теперь, среднее значение функции 17, которое я обозначу [{/], будет нулем, если 17 — производная периодической функции; следовательно, имеем
2[^ + *<7?] = ° и, сопоставляя с уравнением живых сил, выводим
[42 [2*.Ф]=^
откуда
Ей
і
[--V] 2 •
Это — теорема Якоби.
Рассматривая частные производные дл!длпк вместо полных производных Ах/сИ, мы пришли бы к аналогичным результатам. Мы нашли бы
VI Г ііУі , ^ <1х{~\ п
Использование интегральных инвариантов
79
и, следовательно,
<іпк•
Приложение к задаче двух тел
270. Предыдущие рассуждения прилагаются, в частности, к задаче двух тел. Рассмотрим планету и Солнце и отнесем планету к осям с фиксированным направлением, проходящим через Солнце; рассмотрим, следовательно, относительное движение планеты по отношению к Солнцу.
Пусть хг, х3, х3 — три координаты планеты; ул, уг, у3 — три составляющие количества движения.
Пусть Е, т), С — три координаты планеты, отнесенные к особым осям, а именно, к большой оси орбиты, параллели малой оси и перпендикуляру к плоскости орбиты; мы будем иметь
