Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Постоянные п{ и п. разложимы по степеням р. и х^и зависят, кроме того, от Л0 и Ло.
Величины и из\ суть шесть постоянных интегрирования.
Наконец,
АдХ -{- А’йУ + 2а,^т,-
— полный дифференциал, если заменить в нем двенадцать переменных Л, X, о и т их разложениями и рассматривать в этих разложениях ю и ш' как шесть независимых переменных, а шесть количеств Л„, Л^, х'° — как постоянные.
Наши величины х< и у^ которые я только что определил, легко выражаются при помощи двенадцати переменных Л, X, о и -с.
Мы заключаем, что х{ и у. могут быть разложены в ряды, расположенные по степеням р и ж'.0, равно как по косинусам и синусам кратных ю и ю', в которых каждый коэффициент зависит, кроме того, от Л0 и Л^.
Сверх того, выражение
будет полным дифференциалом, если считать ю и ш' шестью независимыми переменными, а Л0, Л', х[° — постоянными.
Ряды, полученные таким образом (едва ли есть нужда напоминать об этом), не являются сходящимися; они имеют значение только с точки зрения формальных вычислений, что придает им, однако, определенную практическую полезность, как я это объяснил в главе VIII.
Тем не менее, если подставить эти разложения х{ и у( в выражение интегрального инварианта, то результат подстановки опять должен будет, по крайней мере с формальной точки зрения, удовлетворять условиям, которым должен удовлетворять интегральный инвариант, что и доставит метод проверки, к которому я хочу привлечь внимание.
267. Выше мы видели, что
^ 2 (2х(1у + У<&) — 3* (Сг — С0) (1)
— интегральный инвариант.
Чтобы воспользоваться этим инвариантом, сделаем замену переменных, аналогичную замене п. 237.
Положим для большей симметрии в обозначениях
IV((?— 1, 2, 3, 4), п. — Э,.—а<+2,
Л0 = Лф = Е2, х'4° =
72
Новые методы небесной механики. III
Мы видели, что а: и у можно разложить в ряды, зависящие от w, w', Л0, Л' и от х‘{°, т. е. в новых обозначениях, от w( и (i = l, 2, 3, 4, 5, 6).
Тогда можно взять за новые переменные и wt, и дифференциальные уравнения движения примут вид
(2)
(подобно тому, как в п. 237, уравнения (1) после замены переменных приводились к виду
Здесь п{ — функции только
Но еще лучше взять другие переменные; в самом деле, так'как шесть п. — функции только шести то ничто не мешает взять вместо 5,- И в качестве переменных и( и иг( таким образом, чтобы дифференциальные уравнения приводились к виду
Интегральный инвариант первого порядка примет вид
где А и В — функции п( и
Я могу предположить, что фигура Р — дуга кривой, уравнения которой, меняющиеся со временем, имеют следующий вид:
причем переменные п( и ю. выражены в функции времени I и параметра я, который меняется от я0 до ях при прохождении всей дуги Р. Тогда уравнения дуги будут
««
откуда
Использование интегральных инвариантов
73
Но мы имеем
dA{ 4? dAi
dt ~~ 2i П* dwk ’
dBf ^ dBj,
dt П,е dwk ’
d2nt q d^Wj drij
dtda ’ dtda da. ’
откуда, наконец,
Если / — абсолютный интегральный инвариант, то мы должны будем, следовательно, иметь
Изучим теперь, что произойдет в случае, когда А и В — периодические функции w и могут, следовательно, быть разложены в тригонометрические ряды.
Рассмотрим сначала уравнение (4); пусть
Bt = 2 [Ь cos (m1w1 msw6) + b' sin (,mlw1 -f- ... -f- m6ws)],
где b и b' зависят от nv
Уравнение (4) приводится к виду
2 ("Чи1 + ... + [—6 sin {rrijW^ + ... + mewe) +
-}- b' cos (m1w1 + ... + m?w^\ = 0,
что может иметь место только, если
Но т — целые постоянные, п — наши независимые переменные, между которыми не может быть никакого линейного соотношения; уравнение (6), следовательно, влечет за собой
Это означает, что тригонометрическое разложение В( сводится к его среднему значению, т. е. что В( — функция только га,., не зависящая от ы>г
(4)
(5)
(6)
или если
Ъ=Ъ’=0.
т1=т2=. . .=тгав=0.
74
Новые методы небесной механики. Ш
Перейдем теперь к уравнению (5); пусть
А( = 2 (a cos ш -f a' sin ш), где для краткости записано ш вместо
771^,+. . .+твн?а.
Тогда уравнение (5) записывается так!
2 (тЛ + • ? • + тепв) (—а sin ш + а' cos ш) = —Bf
Рассмотрим сначала член, зависящий от w, т. е. такой член, что т1г тг, . . . , тв не обращаются в нуль одновременно. Будем иметь
ЛЪуТ11~\~« « /— О*
Bi в правой части не зависит от w; значит, эта правая часть не содержит ни члена с cos to, ни члена с since. Отсюда вытекает, что
а=а'=0.
Следовательно, Л. не зависит от w и сводится к постоянному члену его тригонометрического разложения, члену, который зависит только от п{.
Но тогда уравнение (5) сводится к
Bt=0.
Вообще, всякий абсолютный линейный интегральный инвариант первого порядка, в котором выражение под знаком интеграла алгебраично относительно а: и у и, следовательно, периодично по w, должен будет иметь вид
\ ЦА(<1п„
где А( зависят только от и,.; это действительно имеет место для известных нам абсолютных инвариантов, которые получаются дифференцированием интегралов площадей, живых сил или движения центра тяжести.
Но относительный * инвариант
J — J 2 (2xdy + \>dx)
заслуживает большего внимания. Мы видели, что
