Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
х\Ау\ — хгйу2=0
— полный дифференциал.
Сверх того, у1 увеличивается на постоянную, когда уг увеличивается на 2 тс; я всегда могу выбрать единицу времени таким образом, чтобы эта постоянная была равна 2 тс. Тогда всякая периодическая функция от у2 •с периодом 2 тс будет периодической функцией от у* с периодом 2 ТС. Итак, вид функции Е не изменится; лишь первый член Нх2 сведется к х\. Итак, предполояшм Н—1.
Я утверждаю затем, что можно предположить
А = С=0, Б=сопз1.
В самом деле, образуем канонические уравнения (1), предполагая «=0; получим
&У2 ___ >1. ^Х1 (1x1 о 1 I \
Интегральные инварианты и асимптотические решения
91
и одно уравнение относительно с&г2/й?, которое я могу заменить уравнением живых сил
х2-{- Ах\-\-2Вх1у1-\-Су\=сол^.
Уравнения
^- = -2 (Я*, + Сй), *- = 2 (Ах, + В»,)
— линейные с периодическими коэффициентами. В силу п. 29 они будут иметь общее решение
*1 = Ы*р + г^ф; = ЬУ«Р! + юу, ю --- осе“*'-, ю1 == ре*'*'1,
где <р, ф, <р1> ф1 — периодические функции у2; а и |3 — постоянные интегрирования; а и Ь — постоянные.
Легко видеть, что Ъ=—а и что (рфг—фсрх — постоянная, которую я могу предположить равной 1.
При этих предположениях совершим новую замену переменных, полагая
*1 = *1 (р + гяР; У1 = я&1 + у'А>
*2 = ж2 + Нх? + 2Кх\у\ + Ьу'*; у2 = у2,
где Я, К, Ь — функции у2, выбранные таким образом, чтобы каноническая форма уравнений не изменилась. Для этого достаточно, чтобы
— х'^у[ + х26,у2 — х2(1у2
было полным дифференциалом.
Но мы видим, что ххйуг—х[(1у[ равно полному дифференциалу, увеличенному на
—Др- О;2 (сру — <р<р') + у;2 (фу — фф;) + 2х\у\ (<ру — <?ф;)],
где ф', <р', . . . означают производные от <р, <рг, . . . по г/2.
Следовательно, для того чтобы каноническая форма уравнений не изменилась, достаточно взять
2 я=<ру — «рТ;; 2Я=ту — ?ф;,- 2/, = фу — фф;.
Мы видим, что Н, К, Ь — периодические функции у2, откуда следует, что вид функции Я также не изменится.
Но если мы предположим е=0, то уравнения должны допускать в качестве решения
х[ = ае4“*'-; у[ = ,
92
Новые методы небесной механики. III
откуда
В = ~~, А~С = 0.
Можно, следовательно, без ограничения общности предположить
Н= 1, А — С=О, В — const,
откуда (поскольку мы убрали штрихи)
F хх:=х2-\- 2Вхх ух.
Это мы п будем делать впредь.
Совершим еще одну замену переменных, полагая
х1у1 - и, log = 2v.
хх
Так как
xxdyx — udv = d
— полный дифференциал, то каноническая форма не изменится.
Кроме того, получаем
XL = е’ \]и, Ui — er" \Jll •
Тогда функция F разлагается по степеням
е, х2, \/и, е”, е~\ ег*У*.
Кроме того, имее.м
^0 = Х2 + 2Ви-
Итак, возьмем F в виде
F(x2, щ у2, v)
н определим функцию S уравнением Якоби
rfdS dS \ „
\dy2 ’ du ’ у* v)~ C'
где С — постоянная. Разложим S и С по степеням е:
в = Во ~Ь eBi “Ь ^^2 + • ? •>
С = С0 sCj -f- srC2
Интегральные инварианты и асимптотические решения
93
Для определения 1?0, Бг, . . . получим следующие рекуррентные уравнения:
«О I О п ^^0 г
д.у2 + ^ йи — С0.
4^- + 25-^- = Ф 4-^,
с(у2 1 (1и ~ 1’ (2)
^“^2 I ПП
+ 2Л^ = Ф + С2,
Й17
Я обозначаю, как это уже делал много раз, всякую известную функцию через Ф; во втором уравнении (2) я считаю Б0 известным; в третьем считаю ?0 и известными и т. д.
Положим
?0 = “ог/г + Роу
при условии
ао + — С0.
Так как С0 — произвольно, то обе постоянные а0 и §0 могут быть выбраны произвольно. Однако важно не брать ро=0. Вот почему. Предположим, что мы доказали, что
«О - е^+... +ея.^
йи ' dv ' ' ' ' 1 йи
разложимо по степеням
е, е±г, е±(У‘;
мы сможем (если ро не нуль) заключить отсюда, что то же будет и для
^ + + • • ’ +еР“й^’
поскольку подкоренное количество сводится К Р0 при е=0. Если бы 80 было нулем, мы не смогли бы сделать этот вывод; однако нам важно прийти к такому выводу из-за присутствия радикала \/и в Е.
Рассмотрим теперь второе уравнение (2). Функция Ф, входящая в него, зависит от и и уг и имеет вид
Ф = 2^и,яет'+,'ву’ + Л,о-
Коэффициенты А суть постоянные, могущие зависеть от а0 и (30. Индексы ш и п могут принимать все целые значения — положительные, отрицательные или нулевые. Для ясности я выделяю из-под знака 2 член, в котором эти два индекса — нули.
94
Новые методы небесной механики. III
Тогда второе уравнение (2) дает
тг+<яу,
Iе
при условии
аі + 2-ВРі — А0і 0 + Сг.
За исключением этого условия, постоянные аг и и Сх произвольны; я могу предположить, следовательно, что
Я определяю 52 третьим уравнением (2); это уравнение имеет совершенно тот же вид, что и второе, и решается таким же образом и т. д. В результате производные <25/Іі/2 и сІБ/йи разлагаются по степеням
Если сравнить этот анализ с проведенным в п. 125, то видно, что между ними имеется аналогия. Только вместо того, чтобы иметь лишь мнимые показательные функции
мы имеем здесь вещественные показательные функции
275. Коль скоро функция Б определена, мы можем, применяя метод Якоби, прийти к рядам, аналогичным рядам п. 127.
Функция ? зависит от V, у2 и двух постоянных а0 и {3„. Постоянная живых сил
есть функция а0 и |30.
