Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Пуанкаре А. -> "Избранные труды" -> 15

Избранные труды - Пуанкаре А.

Пуанкаре А. Избранные труды — Москва , 1972. — 359 c.
Скачать (прямая ссылка): izbrannyetrudi1972.djvu
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 111 >> Следующая

Эти результаты также верны, если рассмотреть интегралы следующего вида:
Н* = В1, Л + В2,^2 + ? • • + В„,$„ + + Вп+2,А-2 + • • ? + В'Ы,Ап-
Определение особых решений относительно этих интегралов будет опять тем же, и особые решения будут удовлетворять той же системе инвариантных алгебраических соотношений.
Нужно было бы лишь повторить предыдущее доказательство, ничего в нем не изменяя. Только коэффициенты при величинах Вк (, которые играли бы в этом доказательстве ту же роль, что и Е(, могли быть либо Е<г либо произведениями Ei и Е'-, либо произведениями вида ?
259. Я не хочу входить здесь в подробности тех соображений, которые заставляют меня считать правдоподобным, что в случае задачи трех тел все периодические решения не могут быть особыми.
Это увело бы слишком далеко от темы; я вернусь к этому позже; но пока я временно допущу это предположение, обращая внимание лишь на то, насколько маловероятно, чтобы все периодические решения задачи трех тел удовлетворяли одной системе инвариантных соотношений, что было бы необходимым согласно предыдущему пункту, для того, чтобы они могли быть особыми. Примем снова обозначения и нумерацию уравнений п. 257.
Если уравнения (1) и (2) допускают q различных интегралов, линейных относительно Е и алгебраических относительно х, то эти д интегралов продолжают оставаться различными, когда х в нпх заменяются теми значениями, которые соответствуют неособому периодическому решению.
Записывая, что эти д интегралов равны постоянным, и заменяя в уравнениях, полученных таким путем, величины х значениями, соответствующими некоторому периодическому решению, мы получим д уравнений вида (5), в которых, однако, показатель ак будет нулем. Значит, эти д уравнений должны находиться среди уравнений (5). Следовательно, для того чтобы уравнения (1) допускали q различных интегральных инвариантов, линейных относительно х, необходимо, чтобы для всякого неособого периодического решения д характеристических показателей ак были нулями.
Построение инвариантов
57
Поищем теперь интегральные инварианты вида
J 1/2 Atdx\ + 2Ві кйх^хк =^F (dx.).
(7)
Эти инварианты будут соответствовать интегралам уравнений (1) и (2), квадратичным относительно ?. В самом деле, инварианту (7) будет соответствовать интеграл
который должен быть квадратичным относительно ? и алгебраическим относительно х. Заменим в этом уравнении х теми значениями, которые соответствуют некоторому неособому периодическому решению; мы придем к
где 77* — однородный квадратичный полином относительно ?, коэффициенты которого суть периодические функции от г.
Все уравнения вида (8) должны выводиться из уравнений (5), а именно следующим образом.
В случае какой-либо проблемы динамики и, в частности, в случае задачи трех тел мы видели, что характеристические показатели попарно равны и противоположны по знаку. Следовательно, мы можем сгруппировать уравнения (5) попарно; пусть
Перемножая друг на друга уравнения (5bis) и (5ter), получим уравнение вида (8), а все уравнения вида (8) должны быть линейными комбинациями уравнений, полученных таким образом.
Итак, если предположить, что уравнения (1) имеют каноническую форму уравнений динамики и что они содержат р пар сопряженных переменных, мы получим р пар уравнений, аналогичных уравнениям (5bis) и (5 ter), и, следовательно, для каждого периодического решения будет р линейно независимых уравнений вида (8).
Выберем одно уравнение среди этих р уравнений и их линейных комбинаций, пусть это будет F* (?,)=с; поступим таким же образом со всеми остальными периодическими решениями; тогда мы будем иметь некоторый однородный полином (?,-), второй степени относительно ?, коэффициенты которого будут функциями от переменных х, определенными только для тех значений х, которые соответствуют периодическому решению.
F (?f) = const,
F" (?J = const,
(8)
(5 bis) (5 ter)
-58
Новые методы небесной механики. III
Остается узнать, можно ли сделать этот выбор таким образом, чтобы коэффициенты F* были алгебраическими функциями от х или даже непрерывными функциями от х. Я ставлю задачу, не пытаясь пока ее решить.
Поищем теперь инварианты второго порядка, т. е. те, которые имеют вид двойного интеграла
И*
где F — линейная функция произведений dxAxk (коэффициенты этой линейной функции будут, разумеется, функциями от х). Эти инварианты второго порядка будут иметь следующее значение.
Вернемся к уравнениям (1) и (2) (мы все время сохраняем нумерацию п. 257) и составим, кроме того, уравнения
§=№• м
Они приведут нас к уравнениям, аналогичным уравнениям (5), которые я запишу в виде
= (5а)
Впрочем, они отличаются от уравнений (5) лишь штрихованными буквами.
Инварианты второго порядка будут соответствовать тогда, согласно
предыдущей главе, тем из интегралов (1), (2) и (2а), которые линейны
относительно определителей
и алгебраичны относительно переменных х.
Пусть
^(Mi-Ml)
— один из этих интегралов; если в нем заменить х величинами, соответствующими периодическому решению, то получим уравнение вида
F* (S^i — М<) = const, (9)
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 111 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed