Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Пуанкаре А. -> "Избранные труды" -> 16

Избранные труды - Пуанкаре А.

Пуанкаре А. Избранные труды — Москва , 1972. — 359 c.
Скачать (прямая ссылка): izbrannyetrudi1972.djvu
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 111 >> Следующая

где F* — линейная функция от определителей
Ml-Ml.
коэффициенты которой будут периодическими функциями от t.
Вот каким образом теперь можно будет составить все соотношения вида (9), относящиеся к заданному периодическому решению.
Построение инвариантов
59
В случае уравнений динамики уравнения (5а) разделяются на пары, как и уравнения (5); пусть
— одпа из этих пар; умножим (5а bis) на (5ter), (5а ter) — на (5bis) и вычтем; мы получим уравнение вида (9). Каждая пара уравнений даст нам одно, а все другие уравнения вида (9) будут только линейными комбинациями тех уравнений, которые можно образовать таким путем.
Среди всех уравнений вида (9), полученных таким образом, выберем одно; поступим так же со всеми остальными периодическими решениями; тогда мы будем иметь соотношение
левая часть которого будет линейной функцией определителей; коэффициенты этой линейной функции будут функциями х, определенными только для значений х, которые соответствуют периодическому решению.
Остается узнать, можно ли сделать выбор таким образом, чтобы эти коэффициенты были алгебраическими функциями или даже непрерывными функциями от X.
Обратимся теперь к линейным инвариантам первого порядка. Согласно п. 29, вид уравнений (4) и, следовательно, уравнений (5), оказывается измененным, если два или несколько характеристических показателей становятся равными.
Если, например, д из этих показателей равны нулю, то можно записать соответствующее уравнение (5) в виде
где Рк означает полином, целый относительно I, с постоянными коэффициентами.
Наибольшая степень этих полиномов есть д—1; точнее, число этих полиномов равно д; первый сводится к постоянной, степень второго — не больше единицы, третьего — не больше двух и т. д., и, наконец, последнего — не больше д—1.
В случае, когда степень этого последнего полинома достигает своего максимума и равна д—1, предпоследний полином является производной последнего, (д—2)-й — производной (д—1)-го и т. д.
Во всех случаях можно разделить д полиномов на несколько групп; в каждой группе первый полином сводится к постоянной и каждый из них является производной последующего.
Следовательно, для существования р линейных интегральных инвариантов недостаточно, чтобы р характеристических показателей были нулями; нужно еще, чтобы р полиномов Рк сводились к постоянным (или, что то же, чтобы эти полиномы разделялись, по меньшей мере, на р групп).
(5а bis) (5а ter)
F* (ЕД — БД) = const,
(10)
60
Новые методы небесной механики. III
Каков же тогда, с интересующей нас точки зрения, смысл уравнений (10), в которых Рк не сводится к постоянной?
Мы определили в н. 256 интегральный инвариант, роль которого весьма важна. Этот инвариант имеет вид
где F и F1 — функции, алгебраические относительно х и линейные относительно дифференциалов dx.
Подобный инвариант соответствует интегралу уравнений (2) следующего вида
F-,|-<ii’1=const,
где F и Fx — функции, алгебраические относительно х и линейные относительно ?.
Если в этом интеграле заменим х значениями, которые соответствуют периодическому решению, то придем к
/”-(-<?^1=const,
где F* и F\ — линейные относительно ? функции, коэффициенты которых — периодические функции от t.
Вот как можно теперь получить все соотношения вида (11), исходя из уравнений (10).
Рассмотрим два полинома Рк, первый — сводящийся к постоянной,
а второй — первой степени, причем первый является производной вто-
рого. Соответствующие уравнепия (10) запишутся
л, =516 Л, UObis)
л2 + >м = 2М;. (iotcr)
где 0, и 0( периодичны по t\ из них выводим
= const,
что представляет собой соотношение вида (И).
Заметим еще, что уравнение (lObis), возведенное в квадрат, доставляет нам соотношение вида (8) и что из уравнений (lObis) и (lOter) можно вывести соотношение вида (9), а именно:
(2*А) (2,т - (2ЭД) (SMi) = const.
260. Применим предыдущее к задаче трех тел и будем искать для этой задачи, каково максимальное число интегральных инвариантов различных типов, изученных в предыдущем пункте; а именно, следующих типов:
Построение инвариантов
61
Первый тип — инварианты, линейные относительно дифференциалов Ах. Второй тип — инварианты, в которых функция под знаком интеграла является квадратным корнем из полинома второй степени относительно дифференциалов Ах. Третий тип — инварианты второго порядка, линейные относительно произведений дифференциалов АхЛхк. Четвертый тип — инварианты вида, рассмотренного в конце предыдущего параграфа, т. е. вида
Эти различные типы инвариантов соответствуют различным типам интегралов уравнений (2) и (2а), а именно: первый тип — интегралы, линейные относительно ?; второй тип — интегралы, квадратичные относительно ?; третий тип — интегралы, линейные относительно определителей Е.-Е*—четвертый тип — интегралы вида
где Р и линейны относительно ?.
Мы можем считать крайне правдоподобным, что все периодические решения задачи трех тел неособые.
В задаче трех тел число степеней свободы равно шести; число характеристических показателей равно двенадцати. Согласно тому, что мы видели в п. 78, среди них имеется шесть и только шесть уничтожающихся; шесть остальных попарно равны и противоположны по знаку. Следовательно, имеется шесть уравнений вида (10) и шесть полиномов Рк, из которых четыре — нулевой степени и два — степени единица. Или же иначе, имеется три пары уравнений вида (5Ыб), (51ег), четыре уравнения вида (ЮЫй), два уравнения вида (1(Нег).
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 111 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed