Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
е =
R2 _ R^__
ГА - OA- О? P2 ~R2 р."
Н—Щ R~R + J
Точки, общие линии (F) и окружности (О), суть точки этой окружности, отношение расстояний которых от точки О и от прямой (А) равно R; поэтому эти точки отстоят от (А) на расстоянии р; следовательно, они расположены на перпендикуляре к OA в точке а. Эти точки существ} ют, если точка a не лежит вне окружности (О), т. е. если р < 2R.
2°. Общие касательные к линии (Г) и окружности (О). Для того чтобы прямая касалась (О) и (F), необходимо и достаточно, чтобы проекция точки О на эту прямую была расположена одновременно и на окружности (О) и на главной
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 653
окружности (С) линии (Г). Значит имеется столько общих касательных к (О) и (Г), сколько имеется общих точек у (О) и (С). Но так как точки, общие окружностям (О) и (С), являются вместе с тем точками, общими окружностям (О) и (C)1 то мы приходим к следующему выводу: если окружность (С) пересекает окружность (О) (р < 2Р), то существуют две общие касательные к (Г) и (О), которые являются касательными к (О) в двух точках пересечения (С) и (О). Если (С) касается (О) (р = 2R)1 то существует лишь одна общая касательная к (Г) и (О). Если (С) не пересекает (О), т. е. р > 2Р, то общих касательных у (Г) и (О) нет. Пусть PnQ — точки прикосновения одной из общих касательных к линиям (Г) и (О), J—точка пересечения PQ с директрисой (Д), соответствующей фокусу О. Отрезок JP виден из точки О под прямым углом; OJ—биссектриса угла, образованного двумя касательными JA и JQ1 проведенными из точки О к окружности (О); значит, OJ — биссектриса угла, образованного радиусами OA и OQ1 проведенными в точки касания. Но так как OP J_ OJ1 то OP — другая биссектриса этого угла.
Часть первая. Прямые {?>), соответствующие двум диаметрально противоположным точкам M на окружности (С). Пусть M1 и M2 — две диаметрально противоположные точки на окружности (С). Прямые (D1) и (D2), им соответствующие, переходят при инверсии (О, P2) в окружности, построенные на OAJ1 и OM2 как на диаметрах. Эти две окружности пересекаются в точке О и в точке /', являющейся проекцией О на MxM2. Геометрическим местом точек Г является, следовательно, окружность, построенная на OA как на диаметре. Точка пересечения (D1) и (D2) есть образ /' в инверсии (О, P2), а геометрическое место точек / есть образ в инверсии (О, R2) окружности, построенной на OA как на диаметре — это прямая (Л). Наконец, прямые (D1) и (D2) пересекаются в точке /, лежащей на директрисе (А) линии (Г), и, значит, точки P1 и P2 прикосновения (D1) и (D2) к (Г) лежат на прямой, проведенной через О перпендикулярно О/; значит, P1, P2 и О лежат на одной прямой.
99. I3. Обозначим через mQ и т0 положения движущихся точек в некоторый момент t0l а через т и т'— положения этих точек в момент / [точка т лежит на окружности (C)1 точка т' — па окружности (C')]. В силу условия задачи (движение обеих точек с одной и той же по модулю скоростью) соответствие между положениями точек т и т' для произвольного момента времени может быть
выражено соотношением (c'/Hq, Cr т') + (Cm^1 Cm) = O (mod 2л). Векторы Cm'
и Cm будут иметь противоположное направление, если (Cm', Cm) = г. (mod 2~). Это условие (необходимое и достаточное) может быть записано и так:
(Cm', CmQ) -f- (c' JUq1 Cm) = г. (mod 2г.),
или, на основании предыдущего соотношения, еще так:
((7/и0, Cm) + (c'/Wq, Cm) = г. (mod 2г.). (1)
Произведем перенос CC Векторы Cm' и C'/Wq займут новое положение. Обозначим через X вектор, идущий по биссектрисе угла, образованного Cm0 и перенесенного вектора С'т^ тогда (Cm0, Cm) + (С* т0, Cm) = 2 (X, Cm)*, (mod 2г.)
и, значит, необходимое и достаточное условие того, что векторы Cm и Cm' будут противоположно направлены, запишется так:
(X1 Lm) = j (mod т.). (2)
Это равенство показывает, что направление вектора Cn (Cn = Cm0) получается из X поворотом последнего на угол -J- у. Таким образом, находим одно решение:
Cn' = — Cn. Так как равенство (2) выполнено по модулю г, то другое решение (а вместе с тем и все решения) получится поворотом X на угол —-^-. При этом
мы получим вектор Cv = —Си и опять Cv' = —Си. Из этих соотношений следует
* Формула аналогична формуле х = 'У| п Х<1 для абсциссы середины M (х) отрезка M1M2 с концами M1(X1) и М2(х2).
654 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
—> -> —> —> ->> -у —> —-> —> —>
uv + u'v' = иС + Cv + "'С' + Cu' = uC + Сі/ + Си — Cv = 0; следовательно,
векторы uv и и'*/' имеют противоположное направление. Обозначим через х'х перпендикуляр, опущенный из О на uv; буквой Q обозначим точку, симметричную точке О относительно UV.
2°. Теперь соотношение между т и т' может быть записано так:
(Cn1 Cm) + (CV, Cm') = 0 (mod 2тс). (3)
Рассмотрим частный случай, когда О и С совпадают. Точка G симметрична точке О относительно прямой uv; эти точки могут совпадать тогда и только тогда, когда точка О лежит на прямой uv; но прямая uv проходит через С, значит, прямая uv проходит и через О; центр С симметричен С относительно O1
