Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
определяется соотношением cos G == ~ = ~ . Для гиперболы (//), cos O = тг и, значит, O = -^-; касательные, проведенные к главной окружности из F1 образуют,
о
следовательно, с фокальной осью угол ~\ это, следовательно, не что иное как
прямые PAfJ и PAf2. Асимптоты (Ff) — перпендикуляры в точках М[ и M2 соответственно к прямым PAfJ и FM2. Точка, в которой пересекаются эти перпендикуляры,— центр О гиперболы (H). Теперь можно построить главную окружность, а тогда в пересечении с фокальной осью получим вершины А и А гиперболы (H). Точка С расположена по отношению к (D) с той же стороны, что и F (скажем, слева): значит, точка С лежит постоянно на той ветви гиперболы (H)1 которая расположена по ту же сторону от (D), что и F. Эту ветвь (//) точка С описывает целиком. В самом деле, пусть C0 — какая-нибудь точка этой ветви, P0 — ее проекция на (D), M0 и Mq— точки пересечения (D) с окружностью, проходящей через F
CE CE 1 *
и имеющей центр в точке C0. Тогда у^-гг = -%г? = тг; значит, угол M0CE0
равен ~ и, значит, угол Ai0CAl0 равен — , а потому угол Ai0FM0 равен -~ . Таким
образом, точка C0 есть центр окружности (С), соответствующей некоторому положению Af0PAfQ угла MFAV. Итак, геометрическое место точек С есть вся ветвь гиперболы (H)1 лежащая влево от (D).
2\ Изучение образа (С) в инверсии (F1 A2). В этой инверсии прямая (D) инверсируется в окружность (d) с диаметром FH1 точки Af и M' инверси-руются в точки m и т\ в которых PAl и FM' пересекают (d)9 а образом
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
645
TZ
окружности (С) будет прямая тт\ Так как угол тГт равен —f то он вы-
2ъ
секает в окружности (d) дугу -^-. Хорда mm' является, следовательно, стороной равностороннего треугольника, вписанного в эту окружность, и расстояние от центра Q окружности (d) до этой хорды равно поэтому -^-. Таким образом, прямая mm', являющаяся образом (С) в инверсии (Р, H2), постоянно касается окружности (Q) с центром Q и радиусом . Касательные, проведенные из F к этой
окружности (Q),— не что иное как прямые PAT1 и FM2. Пусть т[ и т2 — образы М[ и Af2 в рассматриваемой инверсии. Образы точек Af1 и M2 (бесконечно удаленные точки) совпадают с F и, значит, Fm1 и Pm2 — граничные положения для mm'. Отсюда следует, что точка К прикосновения mm' с окружностью (Q) описывает лишь дугу KiK2 этой окружности (сделать чертеж). Окружность (С), полученная из mm' указанной инверсией, касается постоянно окружности (F'), полученной инверсией (Q); при этом окружность (Г') расположена вся вправо от (Z)); точка F лежит, следовательно, вне этой окружности. Окружность (С) проходит постоянно через точку F и касается окружности (F'), вне которой лежит точка F. Значит центр С окружности (С) лежит на гиперболе (H) с фокусом Р, для которой (F) — направляющая окружность, относящаяся к другому фокусу. Окружность (F'), как и (Q), вписана в угол M1FM2; значит, точки K1 и K2 касания (F') с FAi[ и PAf2 — образы К\ и K2 в инверсии (F, h2). Поэтому Fmx • PAfj = h2, FK1 • FI{[ = h2.
Но FKi = -g- P4^1; значит, FK[ = 2PAf[. Таким образом, точка К[ симметрична F
относительно AfJ, а точка К'} симметрична P относительно Al2. Точка F' — центр (F') — есть точка, в которой пересекаются перпендикуляры к FK[ в точке K1 и к FK2 в точке K2- Точка К прикосновения mm' с (Q) описывает, как указано выше, лишь дугу ZC1ZC2 окружности (Q), значит, точка ZC' прикосновения окружностей (С) и (F') описывает дугу ZC1K2 окружности (F') (полученную из KiK2 рассматриваемой инверсией). Эта дуга ZC1ZC2 есть геометрическое место точек прикосновения (F') с окружностями (С), проходящими через F и имеющими центры на одной ветви гиперболы (H). Таким образом, геометрическое место точек С есть целиком одна ветвь гиперболы (H). Главная окружность гиперболы (H) есть окружность, касающаяся FI\[ и FK2 в точках Af1 и M2 (середины FK1 и FK2). Отсюда сразу видим, что гипербола, о которой здесь говорится, есть та же, о которой мы говорили в пункте Iе.
3°. Гесметрическсе место точек IwI'. Пусть Jи P— проекции на (D) центров Z и Г окружности, вписанной в треугольник MFM' и вневписанной в угол P этого треугольника. Пусть T и T' — точки прикосновения этих* окружностей с прямой PAf.
Тогда IJ = IT = IF sin ~ = 4 /Z7, /V = P7" = PP sin = 4- PP, откуда Ду- = 2 6 2 6 2 J IJ
FF
и -jrjj- = 2. Отсюда следует, что точки Z и F обе расположены па той же самой
гиперболе (ZZ): это точки пересечения биссектрисы PZ угла PAfAf' соответственно с левой и правой ветвями гиперболы (H). При вращении угла AfPAl' полупрямая PZ описывает угол, образованный лучами PZ1 и PZ2 — биссектрисами углов X1FX1*
f TZ
и X2FX2; эти лучи образуют с FH углы -g- и потому параллельны асимптотам (H).
Отсюда следует, что геометрическое место точек / состоит из части левой ветви гиперболы (H), лежащей внутри угла ZxFZ2, а геометрическое место точек Г есть вся правая ветвь гиперболы (H).
Касательные к (H) в точках / и I'. Так как прямая (D) есть директриса гиперболы (H), соответствующая фокусу F, то отрезки касательных к (H) в точках / и Р, заключенные между точками касания и прямой (D), видны из фокуса P под прямым углом. Значит эти касательные обе проходят через точку Р, в которой (D) пересекается с перпендикуляром к PZ в точке Р. Эта точка P есть точка пересечения с (D) касательной к (H) в точке, описывающей целиком правую ветвь гиперболы (H); точка P описывает лишь часть (D), расположенную вне угла между асимптотами, в которых расположена гипербола (ZZ), иначе говоря, точка P описывает прямую (D) за вычетом отрезка Af1Al2.
