Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
646
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
92. Г. При повороте [р, + тр) прямые (D), (D') и (А) перейдут соответственно
в прямые (D'), (D) и (A'). Следовательно, точка M пересечения (D) и (А) перейдет в точку N' пересечения (D') и (A'), а точка N пересечения (D') и (А) перейдет в точку M' пересечения (D) и (A'). Значит
PM = PN', PN = PM' (1)
и
(PM, PN') = + ~ , (PN, PM') = + -| (mod 2*). (2)
Далее, применяя теорему Шаля, будем иметь: (PM, PN) = (PM, PN') + (PN', PN) ---
= (PN', PN) + (PM, PN'), или так как в силу равенства (2) (PM, PN') = (PN, PM'),
то (PM, PN) = (PN', PN) + (PN, PM'), откуда (PM, PN) = (PN', PM') (общее
значение 9 этих равных между собою углов равно или ~, или ~ в зависимости от
того, будут ли точки NnN' лежать по одну сторону от точки P или по разные).
PN PM'
С другой стороны, из (1) следует рдд = -pj^r • Обозначим через k величину этого
-у -> рдГ
отношения. На основании предыдущего, имеем (PM1 PN) = O (mod 2тс), -^щ- — k
—»• —» рь\'
и (PN', PM') = 0 (mod 2г.), p-j^r = k. Отсюда следует, что /V и M' получаются из
точек MnN' после поворота вокруг точки P на угол O и гомотетии с центром P и коэффициентом гомотетии, равным k. А так как в этих преобразованиях точка P неподвижна, то треугольник PM'N в этом подобии переходит в треугольник PN'М. Окружность, описанная вокруг треугольника PN'M при указанном подобии, переходит в окружность, описанную вокруг треугольника PM'N. Угол, образованный
касательными к этим окружностям в точке Р, равен 0, т. е. -^- или -^-, поэтому
эти окружности ортогональны.
2°. Геометрическое место проекций P на NM' и MN'. Проекциями P на NM' и MN' в силу того, что эти треугольники равнобедренные и прямоугольные, являются середины отрезков NM' и MN'] это центры окружностей, описанных вокруг четырехугольников с вершинами N, M', О, P и М, N', О, Р. Эти две окружности проходят через фиксированные точки О и Р, а потому их центры расположены на медиатрисе отрезка OP. Прямые, соединяющие точку P с этими двумя точками, являются биссектрисами углов, образованных прямыми (D) и (D'), и они описывают всю плоскость, если (D) вращается вокруг Р. Значит медиатриса z'z отрезка OP целиком есть геометрическое место середин отрезков NM' и N'M.
Огибающая прямых NM' и N'M. Каждая из этих прямых есть одна из сторон прямого угла, другая сторона которого проходит через фиксированную точку Р, а вершина скользит по прямой z'z. Значит прямые NM' и MN' касаются параболы (П) с фокусом Р, для которой касательной в вершине является z'z (а потому у'у— директриса). Так как вершина указанного прямого угла описывает z'z целиком, то огибающая каждой из прямых NM' и N'M — вся указанная парабола (П).
Геометрическое место точек пересечения прямых NM' и N'M. На основании предыдущего прямая NM' получается из MN' в результате поворота вокруг P
на угол 0 = ~ или 0 = ~ и последующей гомотетией. Значит эти прямые перпендикулярны. Геометрическое место точки Q их пересечения есть, следовательно, геометрическое место точек таких, что через каждую такую точку можно провести две взаимно-перпендикулярные касательные к параболе (П): это — директриса у'у этой параболы.
93. Г. а) Свойство прямой AM и медиатрисы отрезка QR. Пусть ABC — какой-нибудь треугольник, M — какая-нибудь точка, лежащая в его плоскости, ? и 7 — проекции этой точки на прямые АС, AB; Q и R — точки, симметричные точке M относительно прямых AC и AB. Точка А есть точка пересечения медиатрис сторон MQ и MR треугольника MQR; значит, медиатриса (А) третьей стороны QR проходит через А. Четырехугольник А$М*[ вписанный, значит 04?, AM) = (Т3, yjW) (mod тс), и так как QR\\tf, то
(Лр, AM) = (QR, 7М) = (QR, А) + (A, AB) + + (AB9 ТЛ1) = ~ + (A, AB)+^= (\, AB) (mod т:).
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 647
Полученное соотношение можно переписать так: (AC1 AM) = (AB1 A) (mod тс). Таким образом, AM и (А) — изогонали относительно AC и AB. Значит углы, образованные прямыми AM и СА, имеют те же биссектрисы, что и углы, образованные прямыми AC и AB.
в) Свойство прямых АХУ BY и CZ. Прямая AX такова, что углы между прямыми AY и AM имеют те же биссектрисы, что и углы между прямыми AB и АС. Она совпадает с медиатрисой (А) отрезка QR. Аналогично, обозначая через P точку, симметричную точке M относительно ВС, заключаем, что прямые BY и CZ—медиатрисы отрезков RP и PQ. Если точки Р, Q и R не лежат на одной прямой, то прямые АХ, BY, CZ, будучи медиатрисами сторон треугольника PQR, пересекаются в одной точке M'. Если же точки P1 Q и R лежат на одной прямой, то эти прямые параллельны. В этом случае (и только в этом случае) проекции а, ?, 7, точки M на ВС, CA и AB лежат на одной прямой (прямая Симпсона), что будет иметь место тогда и только тогда, когда точка M лежит на окружности, описанной вокруг треугольника ABC.
2°. Предположим теперь, что все углы треугольника ABC острые и что точка M лежит внутри треугольника ABC
а) Свойство проекций точек M и M' на стороны треугольника ABC. Треугольники AM*; и АМ'$' с одной стороны, и АМ$ и AM'Y, с другой, — подобны, так как они прямоугольные с соответственно равными острыми углами, поэтому
