Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
/3~
наконец, если 2а < х < За, то s = —(За — х)2. График функции s = s (х) состоит из дуг трех парабол (черт. 237).
§ 6. Многогранники
1. 14. 2. 13. 3. ~Vb2c2 + c2a2-ra2b2. 7. ~- (с + 2а). 8. А [2 (ab + cd) + ad + be]. 9 ah2
§ 7. Сфера и ее части; комбинации сфер с прямыми и плоскостями
2. г =______J^+ 1)2 , h = Wa* + a2b2~^? — а2 —I2. 4.
2 V /a4 + я2?2 + ?4 — а2 — б2 14
5. 4 (2Л + 2? + TTAf=). 6, 4lZ о
+ '/ 2b*2-«2 ? — / і-
*+/і-*2-*2 ' «-/i-R2-a2
7. 8. -4. 9. LL4A и LzfuX. 10. f(5 ± /ЇЗ) . 11. (3±Y5) .
2 V 2 У 2 7 7 о 3
12. ~(9 ±/69). 13. 5+ 2 УК 14. 15. г (1 + /2). 16. 1=^-.
17. (l + |/~ 18. 2±yra 19. 20. 2/-(3-2/2). 21, 5 ± /24 .
22. З ± 2/Z
662 Ответы. Стереометрия. Гл. XXII. ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ
§ 8. Сфера, вписанная в многогранник и описанная вокруг него
ЗУЗ ^rns—zs о 3 -уШ_„я л 384
12
5. 9. 6. 27. 7. 5. 8. 13.
12 i? 4 ТІ ' 19. -^. 20. a) f б) f
15.
-(15-81/"?. 2 — 7).
22
101 * _ ^ 12 ^ а(2 — уг2\ 6тс02(5|/"2 —7). 3/3
7 ~ — "27T""1' 27. Пусть A1 В, С—точки встречи ребер тетраэдра, выходящих из , вершины Р, через которую проходит сфера, с этой сферой; тогда тетраэдр PABC также правильный, а сфера проходит через его вершины (описана вокруг него). Продолжим все грани тетраэдра до пересечения со сферой; тогда сфера разделится на десять частей: четыре криволинейных треугольника и шесть криволинейных двуугольников (черт. 238). Обозначая площадь каждого из таких криволинейных треугольников через X (это и есть искомая площадь), а площадь двуугольника — через у,
получим 4х + 6у = S1 X -f Зу = su где S1 = у — поверхность сферического сегмента, отсекаемого от нашей сферы плоскостью какой-нибудь грани тетраэдра PABC
s __5 s __ 3
Черт. 238.
Из полученных уравнений находим: х = -g-
28-І'18
29. І(6±У17).
§ 9. Цилиндр, конус, сфера в комбинации друг с другом, с плоскостями и многогранниками
-^(2 + УЗ)3. 2. і тс--
З/З 3 (г + у г2 + /г2)3
2т2
6.
тег2 (г + Vr2 + (d — г)2)'
1 H- 2т ' 3 (d — г)2
кГ2 (r + Yr2-\-(d + r)2f
3(d + r)2 9. 100/3970 -6300 = 780.*/. 10.
2тсг
0<?<2. 11. ~ (r2 + rR-izH(R — r)2(R + 2r) .
60°. (2
12
iiyca равен
3R
2 з
— 7-/-3--
3 Г P
14. ~ p(p-a)(p—b)(р—с\ где />
15-*/Чіг (fll
17. Радиус
2^b2+(а+Ь) R2
шара
4г
ности прикосновения
19.
3/3Tc(V^-D3
P2
радиус окруж
P3
20.
КЗ-
18
Y 6)
Черт. 239.
21. Зтс (Y 3 — У 2)3. 22. Отрезок ZAf, соединяющий середины ребер AB и CD тет-
раэдра, перпендикулярен к ним o6oiin
и его длина равна ^==- (черт. 239). ГТрове-
Ответы. Стереометрия. Гл. XXIII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК 663
дем через ребро CD плоскость, перпендикулярную оси конуса. Плоскость круга
сечения наклонена под углом 45° к AB; значит, LM = LS поэтому SM = а,
у 2
а так как CD = а, то легко находим радиус круга рассматриваемого сечения SK = -^-• Расстояние же от вершины Одо ребра CD равно: "^(іг)2^
= 23. -is. 24. ^(2те + 3/3). 25. -?(,-.+ 5/3). 26. -^-(те + 2).
27. 1(7, + 6/3). 2S. 6. 29. а) 4°; б) |. 39. ^1. 3.. a) б)
в) 6/? . г) «О-. 32. а) б) !. 33. » . « . 31 35. |. 36. 288.
/з/1 л. „„.,л/,^i „_іб/з і .
37. а) при 1<* < 1, Ч = — l); при 0<fc< J-, ?--Tl-у>
1 /3 1 /3 1 1
при k = -g-, <7max = —; б) при -g < < 1, q = -JL — l); при 0 < * < J- ,
4/3 1 ,1 V3 1^,, /З ч,
9 = —^— Tl-у7 - "Ри k = з"' ?та* = Т~' в) при 2 ^ * < 1 q = ~ Х
U-1/
К аї п 21 зі J3^L- 4) JZ-- 51 -^L- 61 11 Ь 21 iL. 31 729 •
^ и 108 ' ' 27 ' ' 32000 ' > 2048 ' ' 6912 ' ' ' 16 ' ' 250 ' ' 16000 '
4> іж; 5) ж-_зэ-15-40- тг и™ ¦r- 4К 4- 42; т -43-а) -тг; б) 1T-
44. 25. 45. г(|/* |-± l). 46. r(J-^ ± l). 47. г (^p- ± l). 48. а) sin д: = j/" -|;
ЙЧ /2 , .\ „ а/3 а/6 . а/6. Л. а/22. . а/2 За/2
б) Ч/Т = )" "4"" "1^' 3) _Т; в:-5-' "ТГ-
„ . те те , те „ . те /3 3 / Зте . ,. / Зте /Зте
52. a) •H1- или T5=; б) . 53. a) -=^- или 10а ¦¦; б) -^5- или
24 27 ' ' 16 ' * ' 128 128 ' ' 54 27 '
. it/3 . 4/"Зте 6/Зте _Л ,/" 10 —/48 „ . г3/б
6)^(3 + /6).56. i^p-. 57. а)|; б) ; в) ; г) 1; д) I; е) JL.. 58. a) -?-; б) в) г) 59. tga, = !, tga, = |. 60. 45°. 61. 4.
62. а) 30°; б) sin a = |-. 63. а) ~ или h; б) /• или 5л 64. а) 2 или б) Jp
или 4 . 65. tgJ = ^L 66. I. 67. 68. r1 = -A-, r2 = ±-. 69. Ради-
усы шаров, вписанных в трехгранные углы при нижнем основании призмы, равны 12 6
г і = и г2 = , а радиусы шаров, вписанных в трехгранные углы при верхнем
12 3
основании, fz — ~25 11 = ~5 '
Глава XXIII. Геометрические места точек
I4 Сфера. 2. Надо построить сферу, для которой данная точка и центр данной сферы являются диаметрально противоположными точками. Множество всех точек построенной сферы, лежащих внутри данной сферы, и есть искомое множество точек— это или сферический сегмент, или сфера с выколотой точкой, или просто сфера, в зависимости от того, лежит ли данная точка вне, на, или внутри данной
